Решить уравнение с буквенными коэффициентами

Математика

66. Примеры решения систем с буквенными коэффициентами. Особенные системы. Рассмотрим 2 примера решения систем уравнений с 3 неизвестными с буквенными коэффициентами.

1. x – 3y = a, y – 3z = b, z – 3x = c

Определим из 1-го уравнения x через y и из 2-го z через y и подставим в 3-е уравнение:

x = a + 3y; z = (y – b) / 3
(y – b) / 3 – 3 (a + 3y) = c

y – b – 9a – 27y = 3c

y = –(9a + b + 3c) / 26

x = a – (27a + 3b + 3c) / 26 = – (a + 3b + 9c) / 26

2. x + ay – a 2 z = a 3
x + by – b 2 z = b 3
x + cy – c 2 z = c 3

Сначала из 1-го уравнения вычтем по частям 2-ое, — получим одно уравнение с y и z:

ay – by – a 2 z + b 2 z = a 3 – b 3

(a – b) y – (a 2 – b 2 ) z = a 3 – b 3 .

Мы можем теперь обе части этого уравнения разделить на a – b [в самом деле, мы знаем, что a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) и a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ) ]. Получим:

y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 .

Затем вычтем по частям из 1-го третье уравнение, – получим другое уравнение с теми же неизвестными y и z:

ay – cy – a 2 z + c 2 z = a 3 – c 3 .

Его упростим подобно предыдущему:

(a – c) y – (a 2 – c 2 ) z = a 3 – c 3

y – (a + c) z = a 2 + ac + c 2

Теперь сложим по частям оба полученных уравнения, умножив предварительно обе части одного из них (напр. 2-ое) на (–1):

y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2
–y + (a + c) z = –a 2 – ac – c 2
–———————————
(c – b) z = ab – ac + b 2 – c 2

–(b – c) z = a(b – c) + (b 2 – c 2 ).

Разделим обе части этого уравнения на (b – c):

Далее из уравнения y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a 2 + ab + b 2

y = –ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения y – (a + b) z = a 2 + ab + b 2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a 2 + ab + b 2

y = – ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения x + ay – a 2 z = a 3 получим теперь:

x = –ay + a 2 z + a 3 = a 2 b + a 2 c + abc – a 3 – a 2 b – a 2 c + a 3

Рассмотрим теперь систему, подобную тем, какие были рассмотрены для двух неизвестных:

3/x + 2/y + 5/z = 1
6/x + 6/y – 5/z = 1 1/3
3/x + 4/y – 15/z = 0

Здесь не следует освобождать уравнения от дробей; наметим такой план: 1) из 1-го и 2-го при помощи уравнения числителей удалим z, 2) из 1-го и 3-го также исключим z и 3) решим два полученных уравнения с неизвестными x и y.

Урок алгебры в 8-м классе по теме: «Квадратные уравнения с буквенными коэффициентами»

Разделы: Математика

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

• закрепить основные навыки решения квадратных уравнений по формуле; формировать умение применять эти навыки при решении квадратных уравнений с буквенными коэффициентами (параметрами);
• развитие логического мышления и способности решать учебные задачи;
• воспитывать стремление к достижению поставленной цели; воспитывать чувство сопереживания успехам и неудачам своих одноклассников.

Формы обучения: групповая, фронтальная работа.

Методы: практические методы обучения.

План урока

1. Организационный момент.
2. Математическая эстафета.
3. Фронтальная работа с классом.
4. Решение уравнений.
5. Работа в группах.
6. Итог урока.
7. Занимательная задача.
8. Домашнее задание.

Ход урока

1. Оргмомент

1. Сообщить тему урока.
2. Цель урока.
3. Раздать карточки-задания.
4. Сообщить план урока.
5. Рассадить учащихся в группы (по уровню подготовленности).

2. Математическая эстафета (по кругу в группах, ответы на карточках письменно)

Карточка 1.

Цель: повторить основные навыки применения свойств квадратных уравнений.

Задания	Ответы для учителя
	8
	10
	10
	–28
Найти сумму ответов	0

Карточка 1.

Задания	Ответы для учителя
	8
	10
	10
	–28
Найти сумму ответов	0

Карточка 2.

Цель: повторить навыки решения неполных квадратных уравнений.

Задания	Ответы для учителя
	0; 2,5
	0; –1
Найти произведение корней всех уравнений	0

Карточка 2.

Задания	Ответы для учителя
	0
Найти произведение корней всех уравнений	0

Итог: раздать “талантики” за верные ответы (“Талантики” – яркие полоски бумаги).

3. Фронтальная работа с классом

1. Дать определение квадратного уравнения.
2. Записать неполные квадратные уравнения в общем виде.
3. Исследовать по D.
4. Формулы D и D_1.
5. Формулы корней квадратного уравнения.
6. Определение модуля.

Итог: раздать “талантики” за верные ответы.

4. Решение упражнения (коллективная работа с учащимися)

При каких a уравнение имеет один корень.

Решение:

При уравнение не является квадратным, но является линейным.

При уравнение является квадратным , четное , .

Если D₁ = 0, то уравнение имеет 1 корень .

Ответ: при при (Решение оставить на доске.)

Дополнительный вопрос: При каких a уравнение имеет 2 корня? При каких a уравнение не имеет корней?

Таким образом, ставим проблему перед учащимися: как решать квадратное уравнение, содержащее параметры, по формуле?

Итог: раздать “талантики” за верно предложенные шаги решения.

5. Работа в группах (их 5, но заданию раздаю по 3 уровням сложности)

I уровень.

Цель: отработать навыки применения формул корней квадратного уравнения при числовых коэффициентах.

II, III уровни.

Цель: отработать навыки применения формул корней квадратного уравнения при наличии буквенных коэффициентов (параметов).

Карточка для группы I уровня (обязательный минимум или стандарт).

Задания	Ответы для учителя
	0; 2,4
	2; –2
	-7; -13
В уравнении один из его корней равен –4. Найдите другой корень этого уравнения и коэффициент p.

Карточка для группы II уровня (повышенный уровень).

Решите уравнение:

При каком значении a уравнение имеет один корень?

При каком значении m один из корней уравнения имеет значение –3?

Карточка для группы III уровня (высокий уровень).

Для каких b уравнение имеет один корень?

При каких a один из корней уравнения равен 2? Для найденного значения a найдите остальные корни уравнения.

Для всякого значения a решите уравнение

(Для данной группы необходима помощь учителя в виде памятки-алгоритма)

Собираем тетради с вложенными “талантиками” и карточками и анализируем работу учащихся в группах, при фронтальной и устной работе.

6. Итог урока

Как решить квадратное уравнение с буквенными коэффициентами (параметрами) по формуле? (по алгоритму)?

Проверить определение квадратного уравнения .

D или D_{1 .}

Исследование по D (D₁).

7. Занимательная задача

Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары.

Обезъянок резвых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,

А 12 по лианам
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезъянок,
Ты скажи мне в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного уравнения (XII века).

8. Домашнее задание (учащиеся сами определяют себе карточки по уровню сложности)

Карточка 1.

Найдите корни уравнения:

Карточка 2.

Решите уравнение:

Для всякого значения a решите уравнение:

Карточка 3.

Для всякого значения m решите уравнение

При каких b уравнение имеет один корень? Для каждого такого b найдите этот корень.

WolframAlpha по-русски

Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.

Решение «буквенных» уравнений в Wolfram|Alpha

Задача «выразить х из уравнения (с несколькими неизвестными)» встречается довольно часто. Ее можно рассматривать, как решение уравнения с буквенными коэффициентами. Поэтому логично, что Wolfram|Alpha использует для решения таких «буквенных» уравнений запрос solve, который обычно служит для решения уравнений с одним неизвестным.

Вот простой пример такой задачи.

Запрос solve применительно к этому уравнению дает такой результат:

Здесь Wolfram|Alpha отдает приоритет отысканию переменной y. Возможно, полагая, что y это — функция, а x — ее аргумент? Кстати, тот же самый результат дает и запрос solve 2x+3y-1.

Если же из данного уравнения нужно найти именно х, то это следует указать явно. И вот, каким образом:

При этом, в отличие от первого варианта, здесь Wolfram|Alpha дает возможность посмотреть пошаговое решение задания с подробным текстовым комментарием:

(Эта замечательная особенность Wolfram|Alpha уже обсуждалась в одном из предыдущих постов Математика с Wolfram|Alpha: шаг за шагом. )

Итак, рассмотренный выше пример уже дает представление о том, как легко Wolfram|Alpha справляется с «буквенными» уравнениями. Однако, пойдет ли дело так же гладко, если вместо x и y взять другие буквы?

Запрос solve 2a+3b-1 дает следующее:

Однако, абсолютно аналогичный по структуре запрос solve 2n+3m-1 выводит совсем другой результат:

Конечно же! Логика здесь есть: Wolfram|Alpha по умолчанию считает неизвестным то, что обозначено буквой, расположенной ближе к концу алфавита. Но, если вы не уверены в своем знании английского алфавита, тогда, решая в Wolfram|Alpha буквенное уравнение, лучше каждый раз явно указывать неизвестную величину.

Естественно, теперь возникает вопрос: а что будет, если взять уравнение, которое содержит не два буквенных обозначения, а больше? Например, такое:

Как и следовало ожидать, здесь Wolfram|Alpha по запросу solve (без указания неизвестного) выводит решение квадратного уравнения относительно x:

Если же из данного уравнения нужно найти b, то запрос должен быть таким:

Аналогичным образом следует поступить, если ищем c:

Также ясно, что решение кубического уравнения

А вот, если нас интересует, как выражается из данного уравнения a, то запрос формулируем иначе:

Под конец, хочется задать Wolfram|Alpha вопрос посложнее. Например, сможет ли система решить такое «буквенное» уравнение?

Запрос solve без явного указания неизвестного выводит решение этого уравнения относительно z:

Если же нужно найти, к примеру, w, тогда, естественно, получим:

Что же касается решения трансцендентных «буквенных» уравнений, то все зависит от вида конкретного уравнения. Если уравнение допускает аналитическое решение, тогда это решение получается точно так же, как и ранее. Если же нет, тогда, по-возможности, Wolfram|Alpha выдает неявное решение в графическом виде.

Рассмотрим несколько типичных примеров.

Некоторые решения оказываются довольно неожиданными и по-своему красивыми: