Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\) (\(a≠0\)).
Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых ( одночленов ). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
\(x^3-3x^2-5x+6\) — кубический четырёхчлен
\(2x+1\) — линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить соответствующее квадратное уравнение.
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на множители:
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1 )(x-x_2)\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) — корни того же уравнения).
Например, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac<2><3>\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac<2><3>)\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки , то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Например, рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).
У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения .
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac<-33-17><10>=-5\)
\(x_2=\frac<-33+17><10>=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \( p, q \) и \( n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>x + \frac<1><7>x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений |
Выделение полного квадрата |
Дискриминант |
Разложение квадратного трехчлена на множители |
Формула для корней квадратного уравнения |
Прямая и обратная теоремы Виета |
Квадратным трёхчленом относительно переменной x называют многочлен
ax 2 + bx + c , | (1) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем
Квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
ax 2 + bx + c = 0, | (2) |
где a, b и c – произвольные вещественные числа, причем
Полным квадратным уравнением относительно переменной x называют уравнение
где a, b и c – произвольные вещественные числа, отличные от нуля.
Неполными квадратными уравнениями называют квадратные уравнения следующих типов:
Решение неполных квадратных уравнений
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения на примерах.
Пример 1 . Решить уравнение
Пример 2 . Решить уравнение
2x 2 + 3x= 0 . | (3) |
Решение . Вынося в левой части уравнения (3) переменную x за скобки, перепишем уравнение в виде
x (2x+ 3) = 0 . | (4) |
Поскольку произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда, или первый сомножитель равен нулю, или второй сомножитель равен нулю, то из уравнения (4) получаем:
Ответ : .
Пример 3 . Решить уравнение
Ответ : .
Пример 4 . Решить уравнение
3x 2 + 11 = 0 . | (5) |
Решение . Поскольку левая часть уравнения (5) положительна при всех значениях переменной x , а правая часть равна 0, то уравнение решений не имеет.
Ответ : .
Выделение полного квадрата
Выделением полного квадрата называют представление квадратного трёхчлена (1) в виде:
Для того, чтобы получить формулу (6), совершим следующие преобразования:
Формула (6) получена.
Дискриминант
Дискриминантом квадратного трёхчлена (1) называют число, которое обозначается буквой D и вычисляется по формуле:
D = b 2 – 4ac. | (7) |
Дискриминант квадратного трёхчлена играет важную роль, и от того, какой знак он имеет, зависят различные свойства квадратного трёхчлена.
Используя дискриминант, формулу (6) можно переписать в виде
Разложение квадратного трёхчлена на множители
Утверждение . В случае, когда , квадратный трёхчлен (1) разлагается на линейные множители. В случае, когда D , квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.
Доказательство . В случае, когда D = 0 , формула (8) и является разложением квадратного трехчлена на линейные множители:
(9) |
В случае, когда D > 0 , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), можно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов»:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена (1) на линейные множители имеет вид
В случае, когда D , выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (8), является суммой квадратов и квадратный трёхчлен на множители не раскладывается.
Замечание . В случае, когда D , квадратный трехчлен всё-таки можно разложить на линейные множители, но только в области комплексных чисел, однако этот материал выходит за рамки школьного курса.
Формула для корней квадратного уравнения
Из формул (9) и (10) вытекает формула для корней квадратного уравнения .
Действительно, в случае, когда D = 0 , из формулы (9) получаем:
Следовательно, в случае, когда D = 0 , уравнение (1) обладает единственным корнем, который вычисляется по формуле
(11) |
В случае, когда D > 0 , из формулы (10) получаем:
Таким образом, в случае, когда D > 0 , уравнение (1) имеет два различных корня , которые вычисляются по формулам
(12) | |
(13) |
Замечание 1 . Формулы (12) и (13) часто объединяют в одну формулу и записывают так:
(14) |
Замечание 2 . В случае, когда D = 0 , обе формулы (12) и (13) превращаются в формулу (11). Поэтому часто говорят, что в случае, когда D = 0 , квадратное уравнение (1) имеет два совпавших корня , вычисляемых по формуле (11), а саму формулу (11) переписывают в виде:
(15) |
Замечание 3 . В соответствии с материалом, изложенным в разделе «Кратные корни многочленов», корень (11) является корнем уравнения (1) кратности 2.
В случае, когда D = 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (9) можно переписать по-другому, воспользовавшись формулой (15):
ax 2 + bx + c = = a (x – x1) 2 . | (16) |
В случае, когда D > 0 , разложение квадратного трехчлена на линейные множители (10) с помощью формул (12) и (13) переписывается так:
ax 2 + bx + c = = a (x – x1) (x – x2) . | (17) |
Замечание 4 . В случае, когда D = 0 , корни x1 и x2 совпадают, и формула (17) принимает вид (16).
Прямая и обратная теоремы Виета
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в правой части формулы (17), получаем равенство
Отсюда, поскольку формула (17) является тождеством, вытекает, что коэффициенты многочлена
равны соответствующим коэффициентам многочлена
Таким образом, справедливы равенства
следствием которых являются формулы
(18) |
Формулы (18) и составляют содержание теоремы Виета (прямой теоремы Виета) .
Словами прямая теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения (1), то они удовлетворяют равенствам (18)».
Обратная теорема Виета формулируется так: — «Если числа x1 и x2 являются решениями системы уравнений (18), то они являются корнями квадратного уравнения (1)».
Для желающих ознакомиться с примерами решений различных задач по теме «Квадратные уравнения» мы рекомендуем наше учебное пособие «Квадратный трехчлен».
Графики парабол и решение с их помощью квадратных неравенств представлены в разделе «Парабола на координатной плоскости. Решение квадратных неравенств» нашего справочника.
http://www.math-solution.ru/math-task/quadr-to-mul
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/kv.htm