Решить уравнение с логарифмом и тангенсом

Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении

19 февраля 2014

Сегодня у нас будет насыщенный урок, потому что уравнение, которое мы будем сегодня разбирать, содержит в себе и логарифмическую, и тригонометрическую функцию. Но все по порядку.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

На первый взгляд, задача кажется весьма нестандартной: тут и логарифмы, и тригонометрия. Но если разобраться, то окажется, что уравнения такого типа вполне под силу большинству учеников.

Решение логарифмического уравнения

Итак, нужно решить уравнение:

log₅ (cos x − sin 2 x + 25) = 2

Как видим, в первую очередь перед нами логарифмическое уравнение. Вспоминаем: как мы решаем логарифмическое уравнение? Очевидно, приводим его к каноническому виду, а именно:

log _a f ( x ) = log _a g ( x )

В нашем случае слева уже стоит логарифм по основанию 5. Следовательно, двойку тоже нужно представить в виде логарифма по тому же самому основанию 5. Вспоминаем, как это делается. С помощью нашей замечательной формулы:

Разумеется, мы можем подставить любое число b , удовлетворяющее требованиям, которые накладываются на основание логарифма:

Иначе наш логарифм просто не имеет смысла. Но какое именно b выбрать? Очевидно, что основание логарифма по нашей канонической записи должно быть равно основанию уже имеющегося логарифма, т. е. 5. Т.е. в нашем случае запишем:

Перепишем Все уравнение с учетом этого факта:

log₅ (cos x − sin 2 x + 25) = log₅ 25

Перед нами каноническое логарифмическое уравнение. В нем мы можем смело убрать знаки логарифма (т.е. просто приравнять аргументы логарифмов). Получим:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Решение тригонометрического уравнения

Перед нами тригонометрическое уравнение. Переносим 25 влево и получаем:

cos x − sin 2 x = 0

Теперь нам нужно решить обычное тригонометрическое уравнение. Все тригонометрические уравнения должны быть сведены к простейшему уравнению одного из трех видов:

Подобно тому, как в логарифмах есть каноническая запись, точно так же и в тригонометрии есть каноническая запись уравнений. Давайте еще раз посмотрим на наше уравнение:

cos x − sin 2 x = 0

Что-то канонической записью тут не пахнет. Во-первых, аргументы у наших тригонометрических функций разные. И это первая проблема. Следовательно, надо каким-то образом избавится от аргумента 2 x и свести его к х. Или, наоборот: сделать так, чтобы вместо переменной x стояло 2 x .

Еще раз: когда мы видим тригонометрическое уравнение, первое, что нам нужно — это постараться сделать так, чтобы во всех тригонометрических функциях были одинаковые аргументы: везде либо х, либо 2х. Любыми правдами и неправдами, любыми преобразованиями функций мы должны добиться того, чтобы аргументы были равными.

При решении тригонометрических уравнений сводите все функции к одному и тому же аргументу.

Формула синуса двойного угла

В данном случае все очень легко. Вспоминаем формулу синуса двойного угла:

sin 2 x = 2sin x · cos x

Подставляем это выражение в наше уравнение:

cos x − 2sin x · cos x = 0

Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом есть cos x . Выносим его за скобку:

cos x (1- 2sin x · 1) = 0

Кто-то скажет, что 1 в скобках писать излишне. Да, я не спорю, можно сразу записать так:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Однако если вы только разбираетесь в тригонометрических уравнениях, то лучше использовать эту избыточность и записать ту самую единицу. Почему? Да потому что если вы не запишете 1 в конце перед скобкой, то велика вероятность, что вы забудете про единицу и в начале. В итоге у вас получится неверное выражение и, соответственно, мы получим неверный ответ.

А вот так, с дополнительной единичкой, никаких проблем не возникнет. В общем, запомните правило: если из какого-то выражения выносим переменную или функцию, вместо этой нее мы везде пишем единицу. И лишь затем, после того, как мы запишем эту конструкцию в скобках, мы можем убрать лишние единицы, если это возможно.

Рекомендую оставлять единицы на месте <<всех>> общих множителей, которые выносятся за скобку. Так вы застрахуете себя от обидных ошибок.

Разложение уравнения на множители

В нашем случае все возможно. Получим:

cos x (1- 2sin x ) = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: либо cos x = 0, либо 1 − 2sin x = 0

Перед нами совокупность из двух простейших тригонометрических уравнений:

cos x = 0; 1 = 2sin x = 0.

Однако cos x = 0 — это уже каноническая запись вида cos x = a — именно так, как нужно для решения задачи. А вот второе уравнение — 1− 2sin x — нужно преобразовать. Предлагаю выразить отсюда sin x :

-2sin x = -1;
sin x = 1/2.

Мы получили окончательную совокупность:

cos x = 0; sin x = 1/2.

Таким образом, перед нами два канонических уравнения, которые легко решаются. Вспоминаем, что cos x = 0 — это частный случай, поэтому x = π/2 + π n , n ∈ Z .

Особенности решения тригонометрических уравнений с синусом

С другой стороны, sin x = 1/2 — это не частный, а общий случай. Кроме того, всем своим ученикам я рекомендую расписывать решения уравнений вида sin x = a через совокупность двух множеств:

sin x = a ⇒
x = arcsin a + 2π n , n ∈ Z;
x = π − arcsin a + 2π n , n ∈ Z .

Обратите внимание: в обоих вариантах периодом будет именно величина 2π, т.е. полный оборот на тригонометрическом круге! В нашем случае получим:

Итого мы получили совокупность из трех наборов корней:

Область определения логарифмов — считать или не считать?

Внимательные ученики наверняка заметят: изначально мы решали логарифмическое уравнение и, следовательно, должны учесть область определения логарифма. Потому что если где-то в уравнении встречается выражение вида log _a f ( x ) = log _a g ( x ), мы обязаны проверить, что f ( x ) > 0.

Почему же при решении данного уравнения мы нигде это не записали? Это же ошибка! Спокойно: в данном случае никакой ошибки нет. Требование к логарифму, чтобы аргумент был больше нуля, выполняется автоматически на следующем шаге:

cos x − sin 2 x + 25 = 25

Получается, что выражение под знаком логарифма в нашем случае должно быть равно 25. А 25 заведомо больше нуля, т. е. область определения автоматически выполняется для всех корней, которые мы получим в процессе решения уравнения.

И вообще, запомните: когда в уравнении присутствует лишь один логарифм, в аргументе которого имеется функция переменного х, можно вообще не заморачиваться с проверкой области определения, потому что эта область определения будет автоматически выполняться в процессе решения уравнения. Но это работает только для уравнений и только в том случае, если логарифм с функцией присутствует лишь в одном экземпляре на все уравнение.

Требования к области определения выполняются автоматически, если функция стоит в аргументе логарифма, а сам логарифм встречается в уравнении лишь один раз.

В нашем случае это требование выполняется, потому что мы решаем именно уравнение, а не неравенство, и логарифм с функцией в аргументе встречается только один. Собственно, исходное уравнение вообще содержит только один логарифм, поэтому считать область определения в данном случае излишне. Следовательно, мы решили уравнение — получили ответ к первой части задачи.

Отбор корней на отрезке

Переходим ко второй части задачи и находим корни, лежащие на заданном отрезке [2π; 7π/2]. Искать корни будем с помощью тригонометрического круга.

Первым делом обозначаем все три корня на тригонометрическом круге. Кроме того, отметим концы отрезка: 2π и 7π/2. Точка 2π совпадает с точкой началом отсчета, а в числе 7π/2 давайте выделим целую часть — по аналогии с обычными дробями:

Отметим полученное число на тригонометрическом круге. Теперь проведем лучи из начала координат в каждую точку. После этого ставим маркер в точку 2π и начинаем двигаться к точке 7π/2 против часовой стрелки. Получим:

1. Самый первый корень: 2π + π/6;
2. Затем — второй корень: 2π + π/2;
3. Следующий корень: 2π + 5π/6;
4. Наконец, последний корень совпадает с концом отрезка: 7π/2.

Особенности вычисления дробных корней

Ключевой момент в решении задачи таким методом состоит в том, каким образом мы отбираем корни. В первую очередь мы ставим маркер (ручку, карандаш или что там к вас) в самый левый конец отрезка — в нашем случае это 2π. Затем мы начинаем двигаться против часовой стрелки, т. е. в положительном направлении отсчета на тригонометрическом круге.

Первая точка, которую мы встречаем на своем пути, будет x = π/6. Чтобы записать корень, мы добавляем π/6 к началу отсчета 2π — это мы и записали. Идем дальше и прибавляем π/2. Потом, если идти еще дальше, мы попадаем точку 5π/6. И когда мы дойдем до конца, то обнаружим еще один корень — точку 7π/2.

Осталось посчитать те три корня из четырех, которые мы записали в виде выражения, потому что оставлять их в таком нерассчитанном виде нехорошо. Давайте посчитаем:

С последним корнем 7π/2 никаких дополнительных преобразований проводить не нужно — он уже рассчитан. Итого при отборе корней из всего бесконечного множества, разделенного на три набора, которые мы получили при решении нашего уравнения, остались лишь четыре конкретных корня:

Заключительные выкладки

Вот и все — задача решена. Как ни странно, решение получилось довольно простым, хотя изначально уравнение выглядело весьма угрожающе: в нем есть и логарифм, и тригонометрические функции. А получилось, что любой среднестатистический ученик вполне в состоянии справится с такими уравнениями.

И это правда. Достаточно помнить два простых факта:

1. Логарифмические уравнения мы всегда стараемся привести к каноническому виду: log_a f(x) = log_a g(x) — основания должны быть одинаковыми.
2. Тригонометрические уравнения тоже сводятся к каноническому виду. Точнее, к одной из трех моделей: sin x = a; cos x = a; tg x = a.

Однако нашем случае на пути к каноническому виду есть одна заминка. Дело в том, что в одной из функций, а именно sin 2 x , присутствует аргумент 2 x , в то время как в cos x есть только переменная х. Следовательно, придется вспомнить формулу двойного угла: sin 2 x = 2sin x · cos x — и уже на основании этой формулы наше исходное уравнение легко раскладывается на множители, откуда возникают канонические уравнения.

В общем, все, что требуется для решения уравнений подобного вида — это научиться работать с логарифмами, выучить несколько тригонометрических формул (особенно это касается формул синуса и косинуса двойного угла) и, конечно, не бояться преобразовать наше уравнение для того, чтобы получить красивые и легко решаемые конструкции.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Логарифмическая функция. Логарифмы

Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4] <81>= 3 \)

Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4

В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a x = b, где a > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают log_ab
Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log₃81 = 4.

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a \neq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b

log₇7 = 1, так как 7 1 = 7

Определение логарифма можно записать так:

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

Вычислить log₆₄128
Обозначим log₆₄128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log₆₄128 = 7/6

Вычислить \( 3^ <-2\log_3 5>\)
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Решить уравнение log₃(1-x) = 2
По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8

Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log₁₀b

Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо log_eb

Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + \frac<1> <1>+ \frac<1> <1 \cdot 2>+ \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3>+ \dots + \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n>+ \dots $$

Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:

Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ \log_a b = \frac<\lg b> <\lg a>, \;\; \log_a b = \frac<\ln b> <\ln a>$$

Логарифмическая функция, её свойства и график

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = log_ax
где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)

Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

4) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
и убывающей, если 0 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 1.

Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = log_ax

Отметим, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Логарифмическая функция y = log_ax и показательная функция y = a x , где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.

Логарифмические уравнения

Решить уравнение log₂(x+1) + log₂(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log₂((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x₁ = 1, х₂ = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log₂(1+1) + log₂(1+3) = log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1

Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
откуда
2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
x 2 — 7x + 12 = 0
x₁ = 3, х₂ = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 3, х₂ = 4

Решить уравнение log₄(2x — 1) • log₄x = 2 log₄(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log₄(2x — 1) • log₄x — 2 log₄(2x — 1) = 0
log₄(2х — 1) • (log₄ x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log₄ (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х₁ = 1
2) log₄ х — 2 = 0, откуда log₄ = 2, х₂ = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x₁ = 1, х₂ = 16

Сборник тригонометрических уравнений с логарифмами для ЕГЭ по математике

Сборник различных заданий по тригонометрическим уравнениям с логарифмами, данные задания являются первыми сложными задачами в ЕГЭ по математике.

В 2016 году эти задания были под номером 13, в 2015 году были под номером 15.

В сборнике представлены основные типы данных уравнений с логарифмами, которые могут встретить вам на ЕГЭ и приведены правильные ответы к ним. Чтобы научиться решать данный тип заданий мы рекомендуем вам посмотреть видеоуроки на нашем сайте.