Решить уравнение с логическими переменными

Решить уравнение с логическими переменными

Это символы не жёстко привязаны к соотв. операциям, можно использовать другие.

Примеры логических выражений

С применением отрицания

Со знаком «эквивалентно»

Со знаком «следствие»

С применением конъюкции и дизъюнкции

С применением Не-и и Не-или

В калькуляторе вы сможете упростить выражения, содержащие следующие операции: NOT, XOR, AND, OR, NAND, NOR, NOT

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решить уравнение с логическими переменными

Сколько различных решений имеет уравнение J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Решить уравнение с логическими переменными

Можно выделить различные способы решения систем логических уравнений. Это сведение к одному уравнению, построение таблицы истинности и декомпозиция.

Задача: Решить систему логических уравнений:

Рассмотрим метод сведения к одному уравнению. Данный метод предполагает преобразование логических уравнений, таким образом, чтобы правые их части были равны истинностному значению (то есть 1). Для этого применяют операцию логического отрицания. Затем, если в уравнениях есть сложные логические операции, заменяем их базовыми: «И», «ИЛИ», «НЕ». Следующим шагом объединяем уравнения в одно, равносильное системе, с помощью логической операции «И». После этого, следует сделать преобразования полученного уравнения на основе законов алгебры логики и получить конкретное решение системы.

Решение 1: Применяем инверсию к обеим частям первого уравнения:

Представим импликацию через базовые операции «ИЛИ», «НЕ»:

Поскольку левые части уравнений равны 1, можно объединить их с помощью операции “И” в одно уравнение, равносильное исходной системе:

Раскрываем первую скобку по закону де Моргана и преобразовываем полученный результат:

Полученное уравнение, имеет одно решение: A =0, B=0 и C=1.

Следующий способ – построение таблиц истинности. Поскольку логические величины имеют только два значения, можно просто перебрать все варианты и найти среди них те, при которых выполняется данная система уравнений. То есть, мы строим одну общую таблицу истинности для всех уравнений системы и находим строку с нужными значениями.

Решение 2: Составим таблицу истинности для системы:

Полужирным выделена строчка, для которой выполняются условия задачи. Таким образом, A=0, B=0 и C=1.

Способ декомпозиции. Идея состоит в том, чтобы зафиксировать значение одной из переменных (положить ее равной 0 или 1) и за счет этого упростить уравнения. Затем можно зафиксировать значение второй переменной и т.д.

Решение 3: Пусть A = 0, тогда:

Из первого уравнения получаем B =0, а из второго – С=1. Решение системы: A = 0, B = 0 и C = 1.

В ЕГЭ по информатике очень часто требуется определить количество решений системы логических уравнений, без нахождения самих решений, для этого тоже существуют определенные методы. Основной способ нахождения количества решений системы логических уравнений – замена переменных . Сначала необходимо максимально упростить каждое из уравнений на основе законов алгебры логики, а затем заменить сложные части уравнений новыми переменными и определить количество решений новой системы. Далее вернуться к замене и определить для нее количество решений.

Задача: Сколько решений имеет уравнение ( A → B ) + ( C → D ) = 1? Где A, B, C, D – логические переменные.

Решение: Введем новые переменные: X = A → B и Y = C → D . С учетом новых переменных уравнение запишется в виде: X + Y = 1.

Дизъюнкция верна в трех случаях: (0;1), (1;0) и (1;1), при этом X и Y является импликацией, то есть является истинной в трех случаях и ложной – в одном. Поэтому случай (0;1) будет соответствовать трем возможным сочетаниям параметров. Случай (1;1) – будет соответствовать девяти возможным сочетаниям параметров исходного уравнения. Значит, всего возможных решений данного уравнения 3+9=15.

Следующий способ определения количества решений системы логических уравнений – бинарное дерево. Рассмотрим данный метод на примере.

Задача: Сколько различных решений имеет система логических уравнений:

Приведенная система уравнений равносильна уравнению:

Предположим, что x ₁ – истинно, тогда из первого уравнения получаем, что x ₂ также истинно, из второго — x ₃=1, и так далее до x_m = 1. Значит набор (1; 1; …; 1) из m единиц является решением системы. Пусть теперь x ₁=0, тогда из первого уравнения имеем x ₂ =0 или x ₂ =1.

Когда x ₂ истинно получаем, что остальные переменные также истинны, то есть набор (0; 1; …; 1) является решением системы. При x ₂=0 получаем, что x ₃=0 или x ₃=, и так далее. Продолжая до последней переменной, получаем, что решениями уравнения являются следующие наборы переменных ( m +1 решение, в каждом решении по m значений переменных):

Такой подход хорошо иллюстрируется с помощью построения бинарного дерева. Количество возможных решений – количество различных ветвей построенного дерева. Легко заметить, что оно равно m +1.