Решить уравнение с min и max

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\).
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\).
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3x^5-20x^3-54\).
Решение:
1. Найдем производную функции: \(y’=15x^4-60x^2\).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Комплексные упражнения с функциями вида y = min f (x); g(x) или y = max f (x); g(x)

Разделы: Математика

В статье предлагается подборка комплексных упражнений, которые содержат функции вида: y=min или y=max .

Привлекательность и полезность этих упражнений состоит в том, что, приступая к их решению, учащиеся часто теряются и не могут понять, по какой теме работать. Комплексные упражнения объединяют несколько тем из курса математики (уравнения, неравенства, графики), причем учат обращать внимание на “тонкости” при тождественных преобразованиях, после которых задание становиться достаточно простым.

Такие комплексные задания дают на олимпиадах, на экзаменах в различные вузы страны, в заданиях ЗФТШ при МФТИ и даже в “заданиях для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл.” авторов Л.И. Звавича, Д.И. Аверьянова, Б.П. Пигарева, Т.Н. Трушаниной.

Статья рассчитана на учителей математики, на учащихся специализированных математических классов и лицеев физико-математического профиля, а также для обычных классов при подготовке к олимпиадам и для поступления в вузы.

Знакомство с комплексными упражнениями, которые содержат функции y=min или y=max .

Из методички ЗФТШ при МФТИ по теме: “Функции и их графики”

Задание: решить самостоятельно, построить графики функций

Из “Решения задач повышенной сложности” автор С.Л. Евсюк.

116. Найти значения x, для которых min <1-x 2 , (1+x)/2> 0,5.

Заметим, что неравенство min<1-x 2 , (1+x)/2> 0,5 равносильно совокупности двух систем

Решая четные неравенства, получаем x = 1/2.

Из “Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл.”

Авторы Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина.

Пусть max обозначает наибольшее из значений функций F(x) и q(x) для данного x, а min – наименьшее. Найдите все x, для которых выполняется соотношение (2.250–2.252):

2.250. а) max <; 5x – 4> x; б) min <; 3x– 2> x.

2.251. а) min <; x+ 6x>7; б) max <; x– 7x> 8.

а) min <2 x– x – 4; x+ 3x + 1> = 3x + 12;

б) max + x – 5; – 2 x+ 7x +4> = x –1.

Решение этих заданий

2.250. а) Найдите все x, для которых max <; 5x – 4> x

или

или

или

или .

Ответ: .

2.251 а) Найти все x, для которых min<; x+ 6x>7.

Достаточно найти все x, удовлетворяющие хотя бы одну из систем:

или

Ответ: x или x.

2.252 а) Найти все x, для которых

min <2 x– x – 4; x+ 3x + 1> = 3x + 12.

Ответ: x=4 или

б) max + x – 5; – 2 x+ 7x +4> = x –1.

Выясним сначала, когда x+ x – 5– 2 x+ 7x +4. Получаем:

Ответ:

Из пособия “Комплексные упражнения по математике с решениями 7–11 классы”

Автор А.В. Столин

Из задачника “Начала анализа” авторы В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко.

Самостоятельно: построить графики:

Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл. авторы: Л.И. Звавич, Д.И. Аверьянов, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина.
1. Решение заданий повышенной сложности. Автор С.Л.Евсюк.
2. Начала анализа. Авторы: В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко.
3. Комплексные упражнения по математике с решениями 7–11 кл. автор А.В. Столин.

Решить уравнение с min и max

Главная
• Список секций
• Математика
• МЕТОД «МИНИ-МАКСОВ» ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

МЕТОД «МИНИ-МАКСОВ» ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Под словами «нестандартные задачи» мы понимаем такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены описанными ранее стандартными приёмами. Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и «нестандартность» задачи выявляется только в ходе её решения. Так, например, задачу № 8.52 из задачника для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровнь) 10 класса под редакцией А.Г. Мордковича можно отнести к «нестандартной». А порой стандартные задачи могут быть решены нестандартными приёмами. Появилась гипотеза: существуют «нестандартные» задачи и «нестандартные» методы решения задач.

Цель исследования: выявить «нестандартные задачи» на основе решения их методом «мини-максов».

1). Ознакомить с методом «мини-максов».

2). Применять метод «мини-максов» (метод сравнения, метод мажоранта, использование ограниченности функций) при решении уравнений.

3). Составить банк уравнений, решаемых с помощью метода «мини-максов». Решить их, по возможности, альтернативным способом и сравнить полученные решения по рациональности.

4). Распростанить опыт решения уравнений методом «мини-максов» среди старшеклассников лицея.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1). Метод «мини-максов», применяется по простейшей схеме:

Если необходимо решить уравнение = (1) и на общей области определения E функций и выполняются неравенства:

и , то уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Число А называют мажорантой функции.

Для применения метода «мини-максов» необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Приведём перечень часто используемых для оценки базовых неравенств.

Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел).

Равенство достигается в этом неравенстве при a = b. Если же , то .

, где , при условии последнее неравенство равносильно неравенству Коши.

, равенство достигается при a = b.

Замечу также, что неравенство (3) выражает выпуклость функции на всей числовой оси .

Оценка суммы двух взаимообратных чисел.

, если A > 0, равенство достигается только при A = 1.

Эта неравенство вытекает из (1).

Неравенство Коши для n переменных.

Равенство выполняется только при

Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена.

Оценка квадратного трёхчлена:

если a > 0, то ; равенство достигается при .