Решить уравнение с параметром а 1 х 2а

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009

Решение уравнений с параметрами

Решение уравнений с параметрами

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами.

Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

–102–1000y=; и т. д.

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

Если а¹0, то .

Если а=0, то получаем b=c, если это действительно так, то корнем уравнения является любое действительное число, если же b¹c, то уравнение решений не имеет.

Таким образом, мы получили:

при а¹0, ;

при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

при а=0 и b¹c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0, при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х.

Пример 1. Решить уравнение с параметром: 2а(а–2)х=а–2

1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

решим это уравнение относительно переменной а.

2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а=0 имеем 0×х=–2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х, то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а=2 имеем 0×х=0, это справедливо при любом значении х, значит, корнем уравнения является любое действительное число х.

3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а¹0 и а¹2, тогда 2а(а–2)¹0 и обе части уравнения можно поделить на 2а(а–2), получим:

, так как а¹2, то дробь можно сократить на (а–2), тогда имеем .

Ответ: при а=0, корней нет;

при а=2, корень – любое действительное число;

при а¹0, а¹2, .

Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х, при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х, при значениях, отличных от «контрольных».

4. Записать ответ в виде:

Ответ: 1) при значениях параметра. , уравнение имеет корни. ;

2) при значениях параметра. , уравнение имеет корни. ;

3) при значениях параметра. , уравнение корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение с параметром

1. Найдем контрольные значения параметра

2. Решим уравнение при а=1

0×х=(1+2×1–3) Û 0×х=0 Þ х – любое действительное число.

3. Решим уравнение при а¹1

а2–2а+1¹0 Þ

разложим числитель и знаменатель дроби на множители

так как а¹1, дробь можно сократить

4. Ответ: 1) при а=1, х – любое действительное;

2) при а¹1, .

Пример 3. Решить уравнение с параметром

1. Так как параметр а стоит в знаменателе, то а обязательно должно быть отлично от нуля. При а¹0 приведем это уравнение к стандартному виду линейного уравнения, для чего обе части умножим на а.

найдем «контрольные» значения а

2. Решим уравнение при а=2

это равенство не имеет места ни при каких значениях х.

3. Решим уравнение при а¹2

2–а¹0 Þ .

4. Ответ: 1) при а=2, корней нет;

2) при а¹0, а¹2, ;

3) при а=0 уравнение не имеет смысла.

Пример 4. Решить уравнение с параметром

1. Так как параметр а стоит в знаменателе дроби, то чтобы уравнение имело смысл, а+2 обязательно должно быть отлично от нуля

так как х стоит в знаменателе дроби, то х¹0. Преобразуем уравнение

так как х¹0 и а¹–2, уравнение равносильно уравнению

найдем контрольные значения параметра

2. Решим уравнение при а=–3.

при любом х равенство места не имеет

так как х¹0, то проверим, нет ли значений а, при которых х=0, для этого приравняем полученную дробь к нулю

Û ,

поэтому, чтобы уравнение имело смысл .

4. Ответ: 1) при а=–3, а=–2, , корней нет;

2) при а¹–2, а¹–3, , .

II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение с параметром

1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

2. Решим уравнение при а=1

0×х2+2(2×1+1)х+4×1+3=0 Û 6х+7=0 Û .

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

4(5а+4)=0 Û .

4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

Û Û

9х2+6х+1=0 Û (3х+1)2=0 Û .

5. Решим уравнение при а¹1, . В этом случае D 0, проверить, удовлетворяют ли они п.1.

7. Записать ответ.

Пример 6. Решить уравнение с параметром

1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х–2а и 2–ах, которые тоже должны быть отличны от нуля

а2х–2а¹0 Û а(ах–2)¹0 Û а¹0, ах–2¹0 Û а¹0, ;

2–ах¹0 Û .

Таким образом, мы видим, что .

2. Решим уравнение при а¹0,

Û Û

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х2

4. Решим уравнение (*) при а=1

сразу проверим, не совпадает ли х с

а=1 Þ , значит, при а=1, х=–1.

5. Найдем значение параметра, обращающего в нуль дискриминант уравнения (*)

но при этом значении параметра уравнение не имеет смысла.

Замечаем, что так как D=4а2>0 при любом значении а¹0, поэтому уравнение (*) имеет два действительных корня при а¹1, найдем их

Þ .

Проверим, чтобы

корень уравнения при а¹–2.

Найдем чему равен х2 при а=–2

.

a2–a–2=0, а это уравнение не имеет действительных корней, то есть

ни при каком а¹1.

6. Ответ: 1) а=0 уравнение не имеет смысла;

3) а¹0, а¹–2, ;

4) а=–2, .

Пример 7. При каких значениях р корни уравнения х2+6х+р+3=0 будут отрицательными?

1. Квадратное уравнение имеет действительные корни при условии D³0.

Найдем дискриминант этого уравнения и найдем значения параметра, удовлетворяющие этому условию

2. При p£6 корни квадратного уравнения вычисляются по формулам

3. Найдем значения р, для которых х1

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему: