Решить уравнение с целой частью

Решение уравнений, содержащих целую часть числа стр. 1-2

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Министерство образования Российской Федерации

Целая и дробная части числа

Выполнил: Остащенко О. Г.

г. Братск, 10 класс, МОУ »СОШ №38»

Научный руководитель: Попугаева Г. Н.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа—————стр. 1-2

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа ———-стр. 3-4

Решение неравенства, содержащего целую и дробную части числа-стр. 5

Преобразование графиков в системе координат ———————стр. 9-10

Графики, содержащие целую и дробную части——————— стр. 11-12

Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа—————————————————————————стр. 13

В данной работе даются определения таких понятий, как »дробная» и »целая» части числа, решения задач на данную тему, не входящую в программу для общеобразовательных школ, но предлагаемых на вступительных экзаменах по математике и олимпиадах.

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа, эти понятия представляют наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа

уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств

рассмотреть функции вида: y=[ x ] и y= < x >их графики и свойства

Целая часть числа — 1 —

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x] x Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:

Дробная часть числа — 3 —

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

Функция y=[ x ], ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел:

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.е. не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция y = [ x ] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [ x ], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x , принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [ x ] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [ x ] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [ x ] постоянна на каждом интервале [ n ; n +1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

Функция y=< x >, ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа:

2. Функция ни четная, ни нечетная, не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

4. Функция y = < x >принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = < x >ограничена.

6. Функция y = < x >непрерывна на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = < x >обращается в 0 при всех целых значениях x , что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = < x >на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [ n ; n +1) функция y = < x >принимает минимальное значение в точке n .

12. График функции.

Преобразование графиков в системе координат

вдоль оси OX в 2 раза

y =

вдоль оси OX в 2 раза

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

y = 2

вдоль оси OY в 2 раза

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию

Построить график функции

Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части числа

y=1-x

Ответ:

y=[x]

y=2

Ответ:

0,5[x] =

y=0,5[x]

Ответ: Решений нет.

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

В.А. Кирзимов, Центр образования «Царицыно» № 548, М. 2000 г.

Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.

Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат

Евсюк С.Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск «Мисанта» 2003 г.

Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 1990 г.

Урок-семинар по теме: «Решение уравнений, содержащих целую часть числа»

Разделы: Математика

Цель урока.

Углубление знаний по теме урока.
Развитие самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
Развитие навыков групповой работы.
Оценка реальности и красоты каждого из предложенных способов решения уравнения.

Тип урока: комбинированный.

Метод: проблемный и частично поисковый.

Оборудование:

Кодоскоп.
Плёнки с графиками функций ;
“Информация к размышлению”- подборка задач по теме “целая и дробная части числа” для учащихся 8-11-х классов с указанием литературы.

Предварительная подготовка к уроку-семинару.

Класс разбивается на 4 группы (по числу способов решения уравнения), для каждой группы указывается способ решения и литература, где этот способ можно найти. Затем для каждой группы производится консультация, на которой проверяется готовность каждой группы и выясняются все возникающие вопросы. Каждая группа выдвигает своего докладчика, который будет на уроке решать задачу указанным способом.

План урока:

Организационный момент.
Вступительное слово учителя.
Повторение.
Проверка домашнего задания.
Семинар.
Итог урока.

Вступительное слово учителя.

В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для учеников являются непривычными и сложными.

Впервые знакомство с целой и дробной частью числа встречается в 8-м классе, когда вводится определение целой и дробной части числа и строятся графики y=[x]; y=;

Но в учебниках нет методов решения уравнений, содержащих целую часть числа.

Поэтому сегодня мы повторим то, что знаем и рассмотрим различные способы решения ещё одного вида уравнений, содержащих целую часть числа.

Повторение.

Вызываю 2 человека к доске решать домашнее задание.

Устно с помощью кодоскопа:

Определение целой части числа. Найти [25,8]; [0.75]; [-1]; [-2,74]; [-3,8].

Свойства: если, то [x]=x; если то [x] 3.

При m=4 значит, промежуток [5;6) не входит в решение уравнения.

в) Получим, что данному уравнению из интервала (2;6) не удовлетворяют числа 2

2) график y=[x-1] берётся из домашнего задания;

3)обе плёнки совмещаем на экране.

Графики и совпадают при 3x 26.11.2003

Рациональные уравнения онлайн калькулятор

Наш калькулятор поможет вам решить рациональное уравнение или неравенство. Искусственный интеллект, который лежит в основе калькулятора, даст ответ с подробным решением и пояснениями.

Калькулятор полезен старшеклассникам при подготовке к контрольным работам и экзаменам, для проверки знаний перед ЕГЭ, родителям школьников с целью контроля решения многих задач по математике и алгебре.

Добро пожаловать на сайт Pocket Teacher

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

начать

Рациональные уравнения

В рациональных уравнениях обе части уравнения представляют собой рациональные выражения вида: s(x) = 0 или расширено: s(x) = b(x), где s(x), b(x) – рациональные выражения.

Рациональное выражение является алгебраическим выражением, которое состоит из рациональных чисел и переменной величины, соединенных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем. Таким образом, это целые и дробные выражения без радикалов.

Действия с рациональными числами обладают свойствами действий с целыми числами.

К примеру, при умножении рациональных чисел есть дополнительное свойство – умножение взаимно обратных чисел. Для того чтобы умножить два рациональных числа, необходимо умножить модули этих чисел, а перед ответом поставить «плюс», если у множителей одинаковые знаки и «минус», если знаки разные.

Умножение рационального числа на ноль. Когда в рациональном уравнении хоть один множитель – ноль, то и произведение будет равняться нолю.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. При умножении нескольких чисел с разными знаками, необходимо умножить модули каждого из этих чисел. Если количество множителей с отрицательными знаками – четное, то произведение всегда будет со знаком «плюс», если количество множителей с отрицательными знаками – нечетное, то и произведение будет со знаком «минус».

Делить на ноль в рациональных уравнениях, как и в обычных нельзя.

Чтобы решить рациональное уравнение, необходимо определить тип этого уравнения и применить некоторые математические хитрости, созданные для этого типа. Если Вы не помните этих хитростей, то можете воспользоваться калькулятором для решения рациональных уравнений, который быстро подберёт все корни данного уравнений.

Решением рационального уравнения будут являться корень – конкретное число, при постановке которого в уравнение даст верное равенство. Корней рационального уравнения может быть много и важно в решении не упустить ни один корень.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/101940

http://www.pocketteacher.ru/calculator-rationalnih-uravneniy-ru