Решить уравнение символьно в маткаде

Решить уравнение символьно в маткаде

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Урок 19. Символьные вычисления в Mathcad – ключевые слова и модификаторы

В этом уроке мы исследуем различные вариации результатов символьных вычислений с использованием ключевых слов и модификаторов. Мы будем применять их для нахождения символьного результата решения уравнений и для разложения функции в многочлен.

Решение уравнений

В качестве первого примера решим квадратичное уравнение:

Обратите внимание, что в записи используется булево равенство. Чтобы решить уравнение, щелкните по нему и вставьте оператор символьного преобразования. В результате получилось то же уравнение:

Нужно добавить ключевое слово “solve” в местозаполнителе над стрелкой:

Так как уравнение содержит четыре переменных, нужно указать, для какой именно следует решить уравнение. В нашем случае это переменная x. Для этого наберите запятую за словом “solve”. В результате появится местозаполнитель для модификатора x:

Как видно, уравнение имеет два корня.

В следующем примере мы рассмотрим кубическое уравнение. Для констант следует указать значения, так как общее решение будет слишком громоздким.

Получено три корня уравнения, два из которых являются комплексными. Комплексное решение можно подавить, используя второе ключевое слово “assume” и модификатор “real” :

Другой пример – пересечение двух окружностей одного радиуса. Точки пересечений должны удовлетворять сразу двум уравнениям. Одна окружность смещена на расстояние ? вдоль оси абсцисс.

Чтобы решить систему, запишем уравнения в вектор. Так как нужно решить и для переменной x, и для переменной y, необходимо записать два модификатора:

Ответ представлен в качестве матрицы. Здесь два решения – две строки матрицы: «иксы» – первый столбец (они равны), «игреки» — второй (они различны). Если ?>2r, решение будет комплексным.

Перед тем, как решать уравнение, упростите его, насколько можете. Но даже в этом случае решение может получиться громоздким, или оно вообще может быть не найдено.

Ключевые слова “series” и “coeffs”

Mathcad может разложить функцию в ряд – с помощью ключевого слова “series”. Вы можете добавить два местозаполнителя с помощью запятых:

Главный местозаполнитель содержит ключевое слово, второй – переменную, а третий – порядок разложения. Разложение выполняется в окрестности точки 0.

Если нужно разложить, например, натуральный логарифм в окрестности точки x=1, добавьте еще один модификатор:

Можно проверить, насколько полученное разложение соответствует изначальной функции:

В Mathcad можно вычислять сумму ряда символьно:

Тесно связанно с “series” ключевое слово “coeffs”. Проиллюстрируем ее на примере разложения экспоненты:

“Coeffs” дает вектор коэффициентов любого многочлена. Этот вектор начинается с низшего порядка.

Ключевые слова можно комбинировать:

Резюме

В этом уроке мы познакомились с ключевыми словами “solve”, “series” и “coeffs”:

1. Ключевые слова вводятся над стрелкой оператора аналитического преобразования.
2. Модификаторы следует вводить за ключевым словом через запятую.
3. Ключевое слово “solve” решает уравнение, введенное перед ним.
4. С помощью модификатора определите ключевому слову “solve”, для какой переменной следует решить уравнение.
5. Вывод можно ограничить, используя модификаторы с булевыми функциями.
6. Систему уравнений для решения с помощью “solve” следует поместить в вектор.
7. Ключевое слово “series” может разложить функцию в ряд.
8. Важные модификаторы для ключевого слова series:

• переменная, по которой происходит разложение;
• порядок разложения;
• точка, в окрестности которой происходит разложение.

1. Вектор коэффициентов ряда (или другого многочлена) можно найти с помощью ключевого слова “coeffs”.

Решить уравнение символьно в маткаде

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Символьная алгебра в Mathcad

Символьная алгебра в Mathcad включает в себя упрощение и разложение выражений, приведение подобны и разложение на множители.

Операции символьной алгебры можно рассмотреть в сочетании с командами рабочей панели “Символика”, реализующими данную операцию. Перечень некоторых команд и краткое их назначение в Mathcad приведены в таблице.

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Символьные вычисления в Mathcad

Результатом математических вычислений в Mathcad могут быть как числовые значения, так и символьные (аналитические) выражения, полученные посредством преобразования исходных математических выражений, описывающих условия задачи и алгоритм ее решения в символьном виде. Основными достоинствами символьных вычислений являются отсутствие погрешности вычислений и универсальность использования в различных прикладных задачах.

Выполнение символьных вычислений

В Mathcad есть несколько основных способов выполнения символьных вычислений.

Символьная алгебра

Разложение на множители, разложение и упрощение выражений.

Решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений в символьном виде в Mathcad используется специальный оператор символьного решения.

Выполнение символьных вычислений в Mathcad

Символьные вычисления в математическом пакете Mathcad осуществляется с помощью трёх основных способов:

• при помощи меню “Символика”, обеспечивающего возможность выполнения самых разнообразных символьных вычислений (решение и преобразование символьных выражений, интегрирование, дифференцирование и т.д.);
• при помощи специального оператора символьного ввода, включающего знак символьного равенства [ -> ] , иногда с добавлением операторов панели инструментов “Символика” в Mathcad;
• с использованием стандартных математических функций, в сочетании с символьным знаком равенства.