Для решения уравнения, нужно знать формулы нахождения их корней, а также обратно тригонометрические значения углов.
x = (-1)^n * arcsin (1/2) + pi * n, где n принадлежит Z;
Так как, arcsin (1/2) = pi/6, тогда получим корень уравнения.
x = (-1)^n * pi/6 + pi * n, где n принадлежит Z
Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x. На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2. Это концы горизонтальной хорды B₁B₂. Значит, требование «решить уравнение sin x = 1/2» равнозначно требованию «найти все числа на точке B₁ и все числа на точке B₂».
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнениеcosx=a
Объяснение и обоснование
Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cosx| ≤ 1 для любого x (прямая y=a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sinx| ≤ 1 для любого x (прямая y=a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n∈Z (3)
2.Частые случаи решения уравненияsinx=a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sinx= 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sinx= 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sinx= -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравненияtgx=aиctgx=a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравненийtgx=aиctgx=a
Рассмотрим уравнение tgx=a. На промежутке функция y=tgx возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tgx=a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен:x1=arctga и для этого корня tgx=a.
Функция y=tgx периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n∈Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tgx=a:
При a=0 arctg0 = 0, таким образом, уравнение tgx= 0 имеет корни x= πn(n∈Z).
Рассмотрим уравнение ctgx=a. На промежутке (0; π) функция y=ctgx убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctgx=a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctga.
Функция y=ctgx периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctgx=a:
таким образом, уравнение ctgx= 0имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Калькулятор онлайн. Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы. Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем 2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или 2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0. Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5 1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1; 2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \) Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):