Решить уравнение sinx cosx 1 разными способами

8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

2016г. ученица 10 Б класса

Цели: изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.

Задачи: вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.

Гипотеза: одно уравнение можно решить несколькими способами.

Методы исследования: теоретические и математические.

Скачать:

Предварительный просмотр:

средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска

муниципального образования «Холмский городской округ»

8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1

ученица 10 «А» класса

Рязанцева Людмила Ивановна,

1.1Изглубокой древности и до наших дней……………………….………………..…….5

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений………………………………………………………………………………..…..8

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений………………………. 8

2.3 Разложение на множители……………………………………………………………. 9

2.4 Сведение к однородному уравнению…………………………………………. ……10

2.5 Переход к половинному углу……………………………………………..…….…….10

2.6 Введение вспомогательного угла……………………………………………….…….11

2.7 Преобразование суммы в произведение……………………………. ………………11

2.8 Преобразование произведения в сумму………………………………………………12

2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка…………………………………..12

2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат………………………..……..……..13

2.11 Сведение к квадратному уравнению……………………………………..………….14

Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1…………. 15

3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат…………………………………. 15

3.2 Введение вспомогательного угла……………………………………………………..16

3.3 Сведение к однородному уравнению……………………………………….…. 16

3.4 Сведение к квадратному уравнению…………………………………………………..18

3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)……………………..……19

3.6 Преобразование суммы в произведение………………………………………………20

3.8 Переход к половинному углу. …………………………………………………. …..22

Первое знакомство с математикой происходит в детстве. Изначально, в старшей группе детского сада, нас учат цифрам, счету, основам, без которых невозможно приступить к дальнейшему изучению данной науки. Затем, в начальной школе, мы учимся проводить расчеты: складывать и вычитать, делить и умножать, решать простейшие задачи. Перейдя в старшие классы, изучаемый материал становится сложнее, но довольно интереснее, и уже математика имеет несколько разделов, а не два, как на начальном этапе нашего изучения.

Лично для меня наиболее интересной показалась тригонометрия. Она изучает зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимается анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций. Её изящность и гибкость решений многих задач привлекает большое количество людей. Например, одно уравнение имеет не одно или два решения, как учат в школе, а несколько. А если рассмотреть окружность, составляющую данного раздела, можно заметить,что точкам, лежащим на ней, соответствует множество значений. Этим то и необычна тригонометрия.

К тому же, сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Учащийся в школе подросток не всегда знает, как сложится его будущее, куда пойдет учиться и где будет работать. Для некоторых профессий знание тригонометрии просто необходимо. Вы могли не подозревать об этом, но именно она позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии используются в таких науках и областях, как физика, биология, химия, медицина, электроника, теория вероятностей, фармацевтика, экономика и даже фонетика. Не последнюю роль она играет в сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, геодезии и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Решение тригонометрических уравнений играет важную роль для учащегося школы, так как они из года в год встречаются в заданиях ЕГЭ.

В своей работе я буду рассматривать 8 способов решений одного тригонометрического уравнения. Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне достаточно интересной, к тому же в школе отводится мало часов для ее изучения. В ходе исследований по данной теме я поставила цели и задачи, а также вывела гипотезу.

Цели : изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.

Задачи : вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.

Гипотеза : одно уравнение можно решить несколькими способами.

Методы исследования : теоретические и математические.

Итак, мы сегодня сможем поближе познакомиться с этой наукой и рассмотреть всю красоту и разносторонность решений тригонометрических задач.

Глава 1. Историческая справка.

Впервые термин «тригонометрия» встречается в заглавии книги«Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613) в 1595 году. Оно имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник».

1.1 Из глубокой древности и до наших дней

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Стимулом к развитию тригонометрии являлись потребности астрономии, вспомогательным разделом которой стала тригонометрия. Согласно сохранившимся данным, основоположником возникновения тригонометрии стал во 2 в. до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх Никейский. Он впервые рассмотрел тригонометрический круг и вычислил таблицу хорд, соответствующих различным углам. Так как в то время астрономам не были известны тригонометрические функции, она стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Единицами измерения были градусы, минуты, секунды, терции. Далее, Клавдий Птолемей во 2 в. н. э. вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, на основании теоремы Пифагора он записал: (хорда α)²+ (хорда /180-α/)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α+cos²α=1.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийскими астрономами в период 5-12 вв. н. э. Индийские математики вычисляли не полную хорду, как это делали греки, а ее половину. Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Индийские математики назвали синус «ардхаджива», что в буквальном смысле означало «половина тетивы лука». Также они составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа» — угол и «метрио» — измеряю). Тем не менее, для индийцев как и для греков тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.

Ознакомившись с трудами индийских математиков, арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии. Они называли линию синусов словом «джайб» , что переводится на латынь как sinus – изгиб, кривизна. От латинского выражения complementisinus, т.е. «дополнительный синус», произошло слово «косинус» . Тангенсы и котангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в 10 в. Термин «тангенс» с латинского переводится как «касающийся», т.е. линия тангенсов – касательная к единичной окружности. Ну а «котангенс», по аналогии с косинусом, означает «дополнительный тангенс». Важным нововведением было использование единичного радиуса, вычисления с ним гораздо проще.

В 11-13 вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки.

Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к 12 в., когда арабские трактаты были переведены на латынь. Изначально тригонометрия представляется как часть геометрии, но затем в сочинении «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.) начинает обособляться от нее.Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов» (1462-1464), сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Благодаря его трудам тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. В 14—15 вв. тригонометрия заняла место среди университетских курсов.

Дальнейшее развитие тригонометрии шло на пути накопления и систематизации формул, уточнении основных понятий, становления терминологии и обозначений.

В данной области работали европейские ученые Николай Коперник (1473-1543), Иоганн Кеплер (1571-1630), Франсуа Виет (1540-1603) и Исаак Ньютон (1643-1727).

Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).

Виет открыл «плоскую» теорему косинусов, разработал общую алгебраическую символику. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества, например, формулы тригонометрических функций для кратных углов (приложение 2). Исаак Ньютон (1643-1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.

В 17 в. тригонометрия имеет новое направление – аналитическое. Постепенно она становится частью математического анализа. Также находит широкое применение в физике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

В России первые сведения о тригонометрии появились в начале 18 в.В то же время появился первый русский учебник по тригонометрии, и назывался он «Геометрия практика». Дальнейшее развитие теории тригонометрии было продолжено в 19 в Н. И. Лобачевским и другими учеными. В 19—20 вв. бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.

В наше время важнейшая часть тригонометрии – учение о тригонометрических функциях рассматривается в математическом анализе, а решение треугольников является частью геометрии.

1.3.1 Заслуги Леонарда Эйлера

Современный вид тригонометрия получила, благодаря заслугам члена Российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Именно он ввел само понятие функции и принятую в наши дни символику. Величины sinx, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа х – радианной меры соответствующего угла. Он давал числу х всевозможные значения. Как положительные, так и отрицательные, и даже комплексные. К его заслугам можно отнести то, что именно он обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента. Это позволило превратить многочисленные и объемные тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Также, Эйлер ввел обратные функции. Именно он создал тригонометрию как науку о функциях и дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из основных формул. Благодаря обозначениям, которые заключались в определении сторон малыми буквами, а углов – большими, он смог упростить формулы, тем самым придать им красоту и ясность. Его нововведения позволяют нам изучать тригонометрию такой, какая она есть в 21 в. Ведь именно Леонарду Эйлеру принадлежит идея рассматривать тригонометрические функции как числа (отношения соответствующих линий к радиусу круга, причем радиус равен 1). Он вывел ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций в во всех четвертях, получил обобщенную формулу приведения, избавил тригонометрию от многих ошибок, допущенных ранее. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения – это один из видов трансцендентныхуравнений (содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции), то есть не алгебраических, содержащих переменную под знаками тригонометрических функций.

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Уравнения такого типа, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.

Одним из нескольких отличий такого уравнения является наличие в ответе параметра k . Его рассматривают как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Данный параметр принадлежит к множеству целых чисел. В единичной окружности (R = 1) одной точке соответствует бесконечное множество чисел, потому что окружность – замкнутая линия. Ее можно сравнить с беговой дорожкой стадиона. По ней можно двигаться очень долго, так как она замыкается, и начинается новый круг, и старту ,началу движения, может соответствовать 0 м и 600 м (после прохождения дистанции 600 м), то есть одна точка имеет несколько значений. Также и в окружности, одной точке соответствует несколько чисел. Именно поэтому ввели параметр k .

А основной целью решения любого тригонометрического уравнения является приведение его к виду простейшего.

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений.

Простейшие уравнения — это уравнения вида f(x) = a , где f(x) — одна из основных тригонометрических функция, а а -данное число. Для решения уравнений нужно знать основные тригонометрические формулы (приложение 1).

Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»

Разделы: Математика

Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:

Техническая оснащенность урока: компьютеры.

План сдвоенного урока.

I. Повторение по теме “Уравнения”.

Вопросы для повторения.

II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.

Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.

III. Ход работы.

Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).

По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.

Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.

I способ. Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим два приёма:

Разделим обе части уравнения на :

Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.

применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:

Подпишите листочки.

1. Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
2. Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
3. Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
4. Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.

II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.

Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.

(1)

Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.

При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.

Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,

поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.

sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1

-1 1.

Следовательно, x = + 2n, n Z.

Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:

III способ. Сведение к однородному уравнению.

Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?

Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.

Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)

Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,

2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0

sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0

Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0

Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z

Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:

sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,

sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,

x = 2n, n Z;

b) cosx/2 – sinx/2 = 0

x = /2 + 2k, k Z.

Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.

IV способ. Преобразование суммы в произведение.

Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:

а) Выразим cos x через sin(/2 – x):

О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z

sin x + cos x = 1

б) Выразим sin x через cos (/2 – х):

V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.

Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.

Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.

2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,

sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,

x = /2 + 2k, k Z.

x = 2n; n, Z

Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.

Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.

VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:

sin x + cos x = 1,

(sin x + cos x) 2 = 1,

2 sin x cos x + 1= 1,

2 sin x cos x = 0,

При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.

Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.

1. Проверим корни вида x = j:

Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.

х= j , при j = 2k + 1, k Z.

следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.

2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:

j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.

Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.

x = /2 + 2(n+1); n Z.

следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.

Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.

VII способ. Замена cos x выражением :

Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.

Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.

VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.

Предварительно проводится фронтальная беседа.

1. Что значит решить уравнение графически?

2. Как можно решить графически данное уравнение?

1. Построить в одной системе координат графики функций:

Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.

2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.

Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.

3. Построение графиков на экране компьютера:

Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.

Что такое масштаб применительно к ЭВМ?

Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.

Что называется пикселем?

Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).

С помощью какого оператора можно построить точку на экране?

C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?

Window (x1, y1) – (x2, y2).

Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.

Line (x, y) – (x2, y2), c

Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.

Locate x, y: PRINT «Y».

Что собой представляет график на экране?

Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?

Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.

IV. Домашнее задание:

Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.

7 способов решения уравнения sinx + cosx = 1