Решить уравнение укажите корни принадлежащие отрезку

Как решать задание 13

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . \left[\begin \cos x = -1 <,>\\\cos x = -\frac<1> <2><.>\end\right. [ cos x = − 1 , cos x = − 2 1 ​ . ​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Остается решить уравнение cos x = − 1 2 \cos x =-\frac<1> <2>cos x = − 2 1 ​ .

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

Путеводитель по задачам С1

Список всех тригонометрических задач (С1), разобранных на сайте (список пополняется)

!!Смотрите также сборник заданий С1 ЕГЭ по математике !!

Смешное видео по теме

-11. (Реальный ЕГЭ, 2021)

а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

-10. (Реальный ЕГЭ, 2021)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на промежутке Решение

-9. ( Демо ЕГЭ, 2020)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Видеорешение

-8. (Реальный ЕГЭ, 2019)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-7. (Реальный ЕГЭ, 2019)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-6. (Реальный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-5. (Досрочный резервный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Найдите его корни на промежутке . Решение

-4. (Досрочный ЕГЭ, 2018)

a) Решите уравнение
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

-3. (Резервный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

-2. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

-1. (Реальный ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Найдите корни уравнения из отрезка Решение

0. (Досрочн. ЕГЭ, 2017)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

1. (Резервн. ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

2. (ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

3. (Т/Р, апрель 2016)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

4. (Досрочн. ЕГЭ, 2016)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

5. (ЕГЭ, 2015)

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

6. (Диагностическая, 2015)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

7. (ДЕМО, 2014)

a) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

8. (Диагностическая, 2014)

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

9. (Диагностическая, 2013)

a) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

10. (Диагностическая, 2013)

а)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2]. Решение

11. (ЕГЭ, 2013)

a) Решить уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

12. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

13. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

14. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

15. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

16. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

17. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

18. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

19. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

20. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

21. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

22. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

23. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

24. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

25. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

26. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку Решение

27. (Т/Р А. Ларина)

Найдите все корни уравнения удовлетворяющие неравенству Решение

28. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

29. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

30. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку Решение

31. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу Решение

32. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

33. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите его корни, принадлежащие отрезку Решение

34. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни из отрезка Решение

35. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

36. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

37. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

38. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на отрезке Решение

39. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни на отрезке Решение

40. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

41. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

42. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .
б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

43. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

44. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите его корни, принадлежащие промежутку Решение

45. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

46. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Решение

47. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

48. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

49. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

50. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение

51. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

52. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

53. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

54. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

55. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку Решение

56. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни из интервала Решение

57. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите его корни, принадлежащие интервалу Решение

58. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

59. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение .

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

60. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Найдите все корни на промежутке Решение

61. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку Решение

62. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие интервалу Решение

63. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу Решение

64. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни уравнения на отрезке Решение

65. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни уравнения на отрезке [− 3;2]. Решение

66. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни на промежутке (0; 5). Решение

67. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение
б) Найдите все корни на промежутке . Решение

68. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни на промежутке Решение

69. (Т/Р А. Ларина)

a) Решите уравнение ,
б) Найдите все корни на промежутке . Решение

70. (Т/Р А. Ларина)

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

71. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку . Решение

72. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

73. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

74. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из интервала . Решение

75. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

76. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

77. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

78. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

79. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

80. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите его корни из отрезка . Решение

81. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите наибольший отрицательный корень. Решение

82. (Т/Р, 2017) а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку Решение

83. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите решения, принадлежащие промежутку . Решение

84. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите натуральное число такое, что где – корень уравнения. Решение

85. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

86. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

87. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

88. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

89. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

90. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

91. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

92. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

93. (Т/Р А. Ларина)

Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

94. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

95. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

96. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

97. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

98. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

99. (Т/Р А. Ларина) Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение

100. (Т/Р 283 А. Ларина) a) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение