Решить уравнение умножение одночлена на многочлен

Умножение одночлена на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен используется распределительное свойство умножения:

Произведением одночлена и многочлена будет многочлен.

Пример 1. Умножить одночлен -5a на многочлен 3a + 4b 2 .

Решение: Составим произведение одночлена и многочлена и с помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки:

Теперь осталось выполнить умножение одночленов друг на друга:

Так как в получившемся результате нет подобных членов, то многочлен -15a 2 — 20ab 2 — это окончательный результат умножения одночлена -5a на многочлен 3a + 4b 2 .

Пример 2. Выполните умножение многочлена x — xy + 2 на одночлен 2y.

Решение: Составим произведение многочлена и одночлена:

Для удобства можно записать одночлен перед многочленом, используя переместительное свойство умножения. После этого раскроем скобки:

Теперь надо перемножить одночлены:

Решение данного примера можно записать короче, не выписывая промежуточные результаты:

Пример 3. Упростите выражение:

Решение: Раскроем скобки, выполнив умножение —x на 4x — 6y, и затем сделаем приведение подобных членов (если они будут):

Так как получившийся в результате многочлен является алгебраической суммой, то его можно записать так:

Умножение одночлена на многочлена

Что такое одночлен и многочлен

Одночленом называют произведение чисел, переменных и степеней.

Многочленом является алгебраическое выражение в виде суммы или разности нескольких одночленов.

Стандартный вид многочлена представляет собой запись многочлена, как суммы одночленов стандартного вида, среди которых отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду:

1. Запись всех одночленов, которые составляют многочлен, в стандартном виде.
2. Приведение подобных членов.

Существует несколько полезных правил, которые можно использовать при решении задач на умножение многочленов и одночленов.

Умножение двучленов в алгебре выполняют таким образом:

( a + b ) × ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Когда требуется найти произведение двучлена и трехчлена, следует воспользоваться следующей формулой:

( a + b + c ) × ( x + y ) = a x + b x + c x + a y + b y + c y

При умножении трехчленов, включая дроби, можно руководствоваться правилом, записанным в виде уравнения:

( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c

Таким образом, произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена первого многочлена и каждого члена второго многочлена. После сложения полученных произведений при наличии такой возможности следует привести сложный многочлен к стандартному виду.

Распределительные свойства умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения: произведение числа и суммы двух чисел равно сумме произведений этого числа и каждого слагаемого.

a × ( b + c ) = a b + a c

( b + c ) × a = a b + a c

Распределительное свойство умножения относительно вычитания: произведение числа и разности двух чисел равно разности произведения этого числа и уменьшаемого и произведения этого числа и вычитаемого.

a × ( b — c ) = a b — a c

( b — c ) × a = a b — a c

Распределительное свойство умножения справедливо и в том случае, когда в примере записано большее количество чисел. К примеру, если требуется найти произведение числа и суммы трех слагаемых, то можно воспользоваться следующей формулой:

a × ( b + c + d ) = a b + a c + a d

Рассмотрим несколько примеров решения задач на распределительное свойство умножения, которые часто можно встретить на уроках в средних классах школы:

28 × 7 = ( 20 + 8 ) × 7 = 20 × 7 + 8 × 7 = 140 + 56 = 196

28 × 7 = ( 30 – 2 ) × 7 = 30 × 7 – 2 × 7 = 210 – 14 = 196

56 × 9 = ( 50 + 6 ) × 9 = 50 × 9 + 6 × 9 = 450 + 54 = 504

56 × 9 = ( 60 – 4 ) × 9 = 60 × 9 — 4 × 9 = 540 – 36 = 504

473 × 7 = ( 400 + 70 + 3 ) × 7 = 400 × 7 + 70 × 7 + 3 × 7 = 2800 + 490 + 21 = 3290 + 21 = 3311

Используя распределительное свойство умножения, можно достаточно легко избавляться от скобок. В качестве тренировки рассмотрим примеры:

8 ( 3 x + 5 y ) = 8 × 3 x + 8 × 5 y = 24 x + 40 y

10 ( 7 a – 5 b ) = 10 × 7 a — 10 × 5 b = 70 a – 50 b

Распределительное свойство умножения работает также в обратном порядке:

a b + a c = a ( b + c )

Здесь общий множитель, роль которого играет а, был вынесен за скобки. В скобках в итоге остается сумма двух слагаемых b и c.

Алгоритм умножения одночлена на многочлен, пояснения на примерах

При умножении одночлена на многочлен нужно применить алгоритму:

• найти произведение этого одночлена и каждого члена многочлена;
• полученные результаты суммировать.

В процессе решения задач на умножение одночлена и многочлена пригодятся следующие правила из теории:

• распределительное свойство умножения: a ( b + c ) = a b + a c ;
• правило умножения степеней, которые имеют одинаковые основания: a x × a y = a x + y ;
• правило расстановки знаков при умножении.

Важно заметить, что при умножении одночлена на многочлен в результате получается многочлен. Разберем несколько типичных задач.

Предположим, что требуется найти произведение следующих выражений:

Запишем произведение и раскроем скобки, руководствуясь распределительным свойством умножения:

— 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = — 5 a × 3 a + ( — 5 a ) × 4 b 2

Далее следует найти произведение одночленов:

— 5 a × 3 a + ( — 5 a ) × 4 b 2 = — 15 a – 20 a b 2

При разложении заметим, что подобные члены отсутствуют. Поэтому можно записать ответ в таком виде:

— 5 a ( 3 a + 4 b 2 ) = — 15 a – 20 a b 2

Предположим, что имеются некий одночлен 2y и многочлен x — x y + 2 . Попробуем найти их произведение:

Воспользуемся переместительным свойством умножения и избавимся от скобок:

2 y ( x — x y + 2 ) = 2 y × x – 2 y × x y + 2 y ) × 2

Найдем произведение одночленов:

2 y × x — 2 y × x y + 2 y × 2 = 2 x y — 2 x y 2 + 4 y

Сокращенная запись решения:

( x — x y + 2 ) 2 y = 2 x y — 2 x y 2 + 4 y

Попробуем упростить выражение:

3 x 2 — x ( 4 x — 6 y )

Избавимся от скобок и приведем подобные члены:

3 x 2 — x ( 4 x — 6 y ) = 3 x 2 — 4 x 2 + 6 x y = — 1 x 2 + 6 x y

В результате получилась алгебраическая сумма:

Задания для самостоятельной работы

Требуется найти произведение одночлена 2a и многочлена a 2 − 7 a – 3 .

Воспользуемся распределительным свойством умножения, чтобы избавиться от скобок, и суммируем полученные результаты:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a × a 2 + 2 a × ( − 7 a ) + 2 a × ( − 3 ) = 2 a 3 + ( − 14 a 2 ) + ( − 6 a ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Упрощенный вариант записи:

2 a ( a 2 − 7 a − 3 ) = 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Ответ: 2 a 3 − 14 a 2 − 6 a

Вычислить произведение одночлена и многочлена:

a 2 b 2 − a 2 − b 2

С помощью распределительного свойства умножения раскроем скобки и найдем сумму полученных произведений:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 2 b 2 × a 2 b 2 + ( − a 2 b 2 ) × ( — a 2 ) + ( − a 2 b 2 ) × ( — b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Более короткий вариант записи:

− a 2 b 2 ( a 2 b 2 − a 2 − b 2 ) = − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

Ответ: − a 4 b 4 + a 4 b 2 + a 2 b 4

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 )

Воспользуемся распределительным свойством умножения и найдем сумму полученных произведений:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 1 , 4 x 2 y 6 × 5 x 3 y + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 1 , 5 x y 2 ) + ( − 1 , 4 x 2 y 6 ) × ( − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Решение можно записать в упрощенном виде:

− 1 , 4 x 2 y 6 ( 5 x 3 y − 1 , 5 x y 2 − 2 y 3 ) = − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Ответ: − 7 x 5 y 7 + 2 , 1 x 3 y 8 + 2 , 8 x 2 y 9

Найти произведение одночлена и многочлена:

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 )

В первую очередь найдем произведение одночлена и первого члена многочлена:

— 1 2 x y × 2 3 x 2 = — 1 3 x 3 y

Далее проделаем аналогичное действие с одночленом и вторым членом многочлена:

— 1 2 x y × ( — 3 4 x y ) = 3 8 x 2 y 2

Затем умножим одночлен на третий член многочлена:

— 1 2 x y × 4 5 y 2 = — 2 5 x y 3

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = — 1 2 x y × 2 3 x 2 + ( — 1 2 x y ) × ( — 3 4 x y ) + ( — 1 2 x y ) × ( — 3 4 x y ) + ( — 1 2 x y ) × 4 5 y 2 = — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

Сокращенный вариант записи:

— 1 2 x y ( 2 3 x 2 — 3 4 x y + 4 5 y 2 ) = — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

Ответ: — 1 3 x 3 y + 3 8 x 2 y 2 + ( — 2 5 x y 3 )

В первую очередь умножим 2 на многочлен (a + b), а полученное произведение запишем в скобках:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с

Скобки в данном случае потребовались, чтобы правильно выполнить дальнейшее умножение выражения на член с. Вычислим это произведение:

2 ( a + b ) c = ( 2 a + 2 b ) с = 2 a c + 2 b c

Второй вариант решения заключается в умножении (a + b) на с. Полученное выражение следует умножить на 2:

2 ( a + b ) c = 2 ( a c + b c ) = 2 a c + 2 b c

Заметим, что произведение не определяется порядком действий, когда выражение включает в себя несколько сомножителей. Таким образом, работает сочетательный закон умножения.

План-конспект урока по теме: «Умножение одночлена на многочлен: решение уравнений» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока: Умножение одночлена на многочлен: решение уравнений.

Выдающийся физик Альберт Эйнштейн – основоположник теории относительности — говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Цели : 1) отрабатывать навыки умножения одночлена на многочлен при упрощении выражений и решении уравнений, используя свойства степени и правила раскрытия скобок;

2) развивать умение учащихся работать самостоятельно и в парах, формировать коммуникативную компетенцию учащихся;

3) формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Организационный момент . Приветствие, проверка подготовленности к уроку.

На прошлом уроке мы познакомились с правилом умножения одночлена на многочлен. Цель сегодняшнего урока: отработать правило умножения одночлена на многочлен. Научиться применять это правило при упрощении выражений и при решении уравнений.

1. Разделите выражения на две группы.

-3х 3 ; 2х 3 -4; -2,5х 4 -6х +1; 7,3х; х+5у; -14,8х 3 у; 23. По какому принципу вы разделили?

— Что такое одночлен? Стандартный вид?

— Что такое многочлен? Стандартный вид?

2. Выполнить умножение одночленов:

Б) -3х*ху 2 = -3х 2 у 2

В) -7ав*(-2а) = 14а 2 в

— Сформулируйте правило умножения одночленов.

3. Выполните умножение одночлена на многочлен

а) 2у· (у-1) = 2у 2 -2у

б) 3а· (а- b +4)= 3а 2 -3а b +12а

Сформулировать правило умножения одночлена на многочлен.

4. Замените «М» многочленом так, чтобы полученное равенство было верным

Как называются эти уравнения?

Сегодня на уроке мы научимся решать уравнения, которые можно свести к линейным, используя правила раскрытия скобок.

А ) Рассмотреть на доске решение уравнения:

3х(2х – 1) – 6х(7 +х) = 90

6х 2 – 3х – 42х — 6х 2 =90

Б) Предложить учащимся рассмотреть Пример3 (с.135)

Найдите ошибки, допущенные учеником, и решите правильно уравнение:

верное решение неверное решение

24х – 78х 2 +9 = -13 -78х 2 +1

24х – 78х 2 + 78х 2 = -12+9

4. Самостоятельная работа с последующей проверкой. (тест)

Я предлагаю вам на выбор карточки трёх вариантов:

синюю ( оценка «3») –можно допустить одну ошибку, оценка не снижается,

зеленую ( оценка «4»)- если допущена ошибка, оценка снижается на бал,

красную ( оценка «5») — если допущена ошибка, оценка снижается на бал

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

Код: ББББ Код: ВВВВ Код: ААААА

5.Итог урока, выставление оценок.

— Что мы сегодня на уроке повторили?

— Что узнали нового?

6. Д/з № 631(а,б), 634(б), 623(а)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

А) а Б) 5ав В) 5ав +10в 2

А) 5х+8 Б) х-8 В) х-4

4) 3у 3 – 3у(у 2 +3у)

3) 2(х 2 +1) — 3(х 2 -1)

4) 6у 4 – 2у 3 (2у+2)

Краткое описание документа:

В данной работе представлен план урока для 7 класса по теме: «Умножение одночлена на многочлен: решение уравнений». Цель данной работы : формирование и развитие метапредметных УУД на всех этапах урока закрепления знаний . В конспект включены задания, способствующие развитию умения анализировать, классифицировать, самостоятельно выбирать уровень сложности при решении задач.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 989 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

27. Умножение одночлена на многочлен

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 02.09.2018
• 608
• 2

• 02.09.2018
• 1331
• 5

• 01.09.2018
• 237
• 0

• 31.08.2018
• 524
• 0

• 31.08.2018
• 269
• 0

• 07.06.2018
• 352
• 0

• 07.06.2018
• 307
• 0

• 15.05.2018
• 6685
• 769

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.09.2018 1273
• DOCX 44.5 кбайт
• 42 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Госман Ольга Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 4232
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.