Решить уравнение в маткаде с точностью до

Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD

Решение нелинейных уравнений

Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:

· уточнение корней до заданной точности.

Рассмотрим эти два этапа подробно.

Отделение корней нелинейного уравнения

Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

Пример. Дано алгебраическое уравнение

.

Определить интервалы локализации корней этого уравнения.

На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨

Уточнение корней нелинейного уравнения

Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.

Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.

Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.

Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨

Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.

Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.

Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.

Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных

Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:

Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логичес­кий .

Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.

Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.

Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.

Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).

Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.

Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .

Решение систем уравнений

В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:

· алгебраические системы уравнений;

· трансцендентные системы уравнений.

Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных алгебраических уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

В матричном виде систему можно записать как

,

где – матрица размерности , – вектор с проекциями.

Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.

Решение систем нелинейных уравнений

MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.

Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.

Пример. Дана система уравнений:

Определить начальные приближения для решений этой системы.

Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨

Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .

Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

· ограничения со знаком ¹ ;

· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;

· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).

Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.

Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений

Решить уравнение в маткаде с точностью до

Электронный курс по MathCAD

Экспоненциальные и логарифмические уравнения.

Определение: Уравнение, в котором независимая переменная входит в аргумент хотя бы одной экспоненциальной (логарифмической) функции, называется экспоненциальным (логарифмическим) уравнением.

Способ решения с помощью Mathcad такой же, как и для других типов уравнений.

Экспоненциальные уравнения во множестве действительных чисел не создают дополнительных сложностей в том смысле, что их область определения совпадает со множеством действительных чисел, а логарифмирование представляет собой инъективное отображение.

Если при решении экспоненциального уравнения возникают проблемы,их,как правило,можно устранить посредством вспомогательного логарифмирования. В крайнем случае можно обратиться к численным методам (См. Решение нелинейных уравнений и систем).

Значительно больше сложностей возникает при решении логарифмических уравнений. Область определения этих уравнений, если рассматривать их во множестве действительных чисел, как правило, не совпадает с действительной числовой прямой. MathCAD рассматривает логарифмические уравнения в комплексной области, т.е. не учитывая область определения.

В данном примере показано, что MathCAD иногда находит решения (и даже действительные) там, где их быть не может (проблемы с комплексным логарифмом). Но нахождение области определения позволяет придти к верному решению.

Насколько полезным может быть предварительное нахождение области определения, показывает следующий пример. Область определения пустое множество, следовательно,множество решений L=<>.

Тригонометрические уравнения.

Сложность решения уравнений, содержащих тригонометрические функции, состоит прежде всего в том, что функций, обратных к тригонометрическим, не существует, а существуют лишь бесконечно многозначные обратные отображения. Поэтому прихдится мириться с тем, что любое вычислительное средство сможет найти только главное значение обратного выражения. Чтобы получить множество решений, необходимо самостоятельно воссоздать побочные значения обратного отображения.

Для тангенса (и котангенса) этого главного значения достаточно посредством периодического продолжения atan(x)+k p , где k — целое представить все решения. При решении уравнений с тангенсами и котангенсами возникает также вполне разрешимая проблема, связанная с тем, что данные функции определены не во всех точках числовой прямой.

Данный пример показывает, что вышеуказанное ограничение не играет особой роли при решении уравнений с помощью MathCAD. Поскольку синус и косинус определены для всех значений аргумента, вопрос об области определения при решении уравнений, содержащих только эти тригонометрические функции, как правило, отпадает.

p ).

Поскольку остается неясным, какое именно из значений обратного отображения MathCAD рассматривает в качестве главного при решении уравнений, оказывается сложно получить еще одно значение, отстоящее от главного менее чем на период; тем самым задача была бы решена с точностью до периода. В подобных ситуациях на выручку приходит построение графиков.

Данный пример демонстрирует пределы возможности MathCAD. Решение в лоб не дает никаких результатов.

Неравенства.

MathCAD обладает достаточно мощными возможностями для решения неравенств. Эти возможности уже использовались нами ренее для нахождения области определения уравнений, содержащих функции, определенные не во всех точках числовой прямой.

Неравенства, как и уравнения, можно решать либо с использованием символьного знака равенства, либо, отметив переменную следм курсора, посредством выполнения команды Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы). В разных неравенствах могут быть использованы различные знаки неравенств.

Знаки «больше» и «меньше» могут вводиться непосредственно с клавиатуры. Все остальные знаки можно вводить при помощи панели Evaluation (Вычисления), либо сочетанием клавиш.

Линейные неравенства и неравенства с дробно-рациональными функциями не составляют сложности для MathCAD.

Неравенства с параметрами удобно анализировать с использованием знака символьного равенства, если значения параметра ограничены некоторыми условиями.

При решении неравенств, содержащих трансцендентные функции,возможности MathCAD ограничены.

В данном примере MathCAD не может решить неравенство при использовании символьного процессора. На помощь приходят графики и функция численного решения уравнений root. Для работы этой функции необходимо задать начальное приближение для искомого решения.

Системы линейных уравнений.

Для численного решения линейных систем уравнений в MathCAD имеется специальная функция:

lsolv(A,B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение — вектор X.
А — матрица коэффициентов размерности nxn;
В — вектор свободных членов размерности n ;
X — вектор неизвестных пока решений.

Эквивалентной для MathCAD формой представления систем линейных уравнений является матричная форма. Представленные таким образом системы можно решать как символьно, так и численно.

Хорошей альтернативой решению систем в матричной форме является так называемый solve block (Блок решения). Он удобен тем, что при его использовании уравнения записываются не в матричной, а в обычной форме, а также тем, что позволяет решать нелинейные уравнения и вводить ограничительные условия для определяемого решения. Блок решения применяется как для нахождения численного решения, так и для отыскания решеня в символьном виде.

Синтаксис Блока решения:

Последовательность действий при численном решении:

Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных. Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом Given и заканчивающийся ключевым словом Find(v1,v2. vn). Если после слова Find(v1,v2. vn) ввести знак равенства [=], MathACD выдаст численное решение.

При символьном решении не надо вводить начальные значения, а после ключевого слова Find(v1,v2. vn) вместо знака равенства следует ввести символьный знак равенства (при помощи комбинации [Ctrl+.] или соответствующей пиктограммы панели Evaluation).

Существует еще одно важное отличие между блоком решения и использованием матричных операций. Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, матричные методы оказываются непригодными. В таком случае система не имеет решений или разрешима неоднозначно. Если же применить блок решения, MathCAD распознает неоднозначность и выдает решение в параметрической форме.

Нелинейные уравнения и системы уравнений.

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью (не более значения, заданного системной переменной (TOL) . Для простейших уравнений вида F(x)=0 решение находится с помощью функции

Эта функция возвращает значение переменной с указанным уровнем точности, при котором выражение дает 0.

Функция реализует вычисления итерационным методом, причем можно задать начальное значение переменной. Это особенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменной. Пример ниже иллюстрирует технику применения функции root для вычисления корней кубического полинома.

Как известно, кубическое уравнение обязательно имеет хотя бы один кубический корень х1. Он найден вначале функцией root. Два других корня могут оказаться и комплексными. Функция root может отыскивать и такие корни. Для поиска второго корня, х2, первый исключается делением F(x) на (х-х1). Соответственно для поиска третьего корня, хЗ, F(X) делится еще и на (х-х2).

Эту процедуру можно распространить и на поиск корней полиномов более высокой степени, однако надо помнить, что найти корни полинома можно гораздо более изящным и простым способом — используя операцию символьных вычислений.

Функция поиска корней многочлена polyroots

Для поиска корней обычного полинома р(х) степени п MathCAD содержит очень удобную функцию:

Она возвращает вектор корней многочлена (полинома) степени п, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину равную п+1.

Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Не рекомендуется пользоваться этой функцией, если степень полинома выше пятой-шестой, так как тогда трудно получить малую погрешность вычисления корней.

При решении систем нелинейных уравнений используется специальный вычислительный блок, открываемый служебным словом — директивой Given — и имеющий следующую структуру:

Given
Уравнения
Ограничительные условия
Выражения с функциями Find и Minerr

В блоке используется одна из следующих двух функций:

Find(vl, v2, . vn) — возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения;

Minerr(vl, v2, . vn) — возвращает значение одной или ряда переменных для приближенного решения.

Между этими функциями существуют принципиальные различия. Первая функция используется, когда решение реально существует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пытается найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратичной погрешности решения.

При использовании функции Minerr для решения систем нелинейных уравнений надо проявлять известную осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Нередки случаи, когда решения могут оказаться ошибочными, чаще всего из-за того, что из нескольких корней система предлагает нереальный (или не представляющий интереса) корень. Полезно как можно точнее указывать начальные приближения к решению.

Решить уравнение в маткаде с точностью до

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений: