Решить уравнение в поле действительных чисел

Решить уравнение в поле действительных чисел

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Поле комплексных чисел

Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а — символ, называемый мнимой единицей. Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются

Если мнимая часть равна нулю , то число считается совпадающим с действительным числом . Если действительная часть равна нулю , то число называется чисто мнимым и обозначается просто .

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Множество комплексных чисел обозначается символом . Определим на этом множестве арифметические операции.

Сложение и вычитание в поле комплексных чисел

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:

а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: ;

б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ; нулевой элемент обозначается просто символом нуль ;

г) для каждого комплексного числа существует противоположный ему элемент

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел и называется комплексное число

Умножение и деление в поле комплексных чисел

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

В частности, , то есть .

Правую часть формулы (В.6) можно получить, если перемножить выражения и , как двучлены, и учесть равенство .

Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:

а) операция умножения комплексных чисел коммутативна: .

б) операция умножения комплексных чисел ассоциативна: .

в) существует единичный элемент ; единичный элемент обозначается просто символом единица: ;

г) для каждого комплексного числа , отличного от нуля, существует обратный ему элемент

В самом деле, знаменатель дробей отличен от нуля, так как равенство означает, что и , т.е. . Следовательно, для правая часть определена. Проверим равенство . Используя определение (В.6) и равенство , получаем:

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).

Частным двух чисел и называется комплексное число

Правую часть формулы (В.7) можно получить, если умножить числитель и знаменатель дроби на число .

Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:

Таким образом, множество комплексных чисел является полем.

Пример В.10. Пусть . Вычислить .

Решение. По определению операций получаем

При нахождении произведения и частного использовалось равенство .

Сопряженные числа в поле комплексных чисел

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные части, а мнимые — противоположны по знаку. Число, сопряженное числу , обозначается .

Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:

Пример В.11. Решить уравнение .

Решение. Пусть — корень уравнения. Тогда

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем

Из второго уравнения следует, что (случай не подходит, так как уравнение не имеет действительных корней). Подставляя в первое уравнение, получаем . Таким образом, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня .

1. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных сопряженных корня .

2. Равенство (В.7) можно получить, умножая числитель и знаменатель дроби на число , сопряженное числу (см. пример В.10).

3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что

степени с действительными коэффициентами .

4. Рассмотренные ранее числовые поля удовлетворяют включениям , т.е. поле комплексных чисел содержит поле действительных чисел, которое, в свою очередь, содержит поле рациональных чисел.

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.