Решить уравнение в символьном виде

Решить уравнение в символьном виде

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Какой знак равенства используется при символьном решении уравнений или систем уравнений в mathcad

Символьное решение уравнений.

ü получить навыки решения уравнений и систем уравнений в среде MathCad.

Обеспечение работы:

ü ПК с установленными необходимыми программами для работы (MathCad);

ü методические указания к выполнению работы (электронный вариант).

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом данных методических указаний;

2. Выполнить задания, приведенные в разделе II. Порядок выполнения работы;

3. Ответить на контрольные вопросы, сделать выводы.

4. Оформить отчет.

Содержание отчета:

ü тема, цель и порядок выполнения работы;

ü привести выполненные задания (скриншоты);

ü ответы на контрольные вопросы;

Теоретические положения

I. ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В MATHCAD

В системе MathCad реализовано три подхода к решению уравнений и систем уравнений — использование символьных преобразований, численных алгоритмов и графический метод.

Символьное решение уравнений.

Для аналитического решения уравнений в системе MathCad существует специальный оператор «Solve» (Решить).

Для нахождения корней уравнения с помощью этого оператора следует осуществить следующие действия:

1. Ввести оператор Solve с помощью панели «Symbolic».

2. В левом маркере задать выражение для уравнения. По знак равенства следует использовать логический знак равенства «=» (Ctrl + =). Если уравнение приведено к стандартному виду (правая часть равна нулю), то достаточно ввести только его левую часть. К нулю выражение приравняется автоматически. Также в левый маркер можно ввести и имя функции, тогда будут находиться нули функции

3. В правом маркере введите переменную, относительно которой нужно решить уравнение:

Также для символьного решения уравнений и систем уравнений используется блок «Given-Find».

Сначала следует ввести слово «Given», далее записать выражение для уравнения (системы уравнений), используя логический знак равенства (Ctrl + =), а затем ввести слово «Find» и в скобках указать имя переменной (переменных), в отношении которого нужно решить уравнение.

Следует заметить, что решить аналитически возможно очень ограниченный круг уравнений и систем уравнений.

Символьные вычисления в MathCAD

Имеются некоторые задачи, для которых возможности MathCAD позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде. Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении;

• если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы→ Переменные→ Вычислитьпозволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

Чтобы решить уравнение символьно, необходимо:

1. Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш Ctrl + =);

2. Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью;

3. Выбрать пункт меню Символы → Переменные → Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

1. Напечатать ключевое слово Given;

2. Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется Ctrl + =;

3. Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений;

4. Нажать Ctrl + .(клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). MathCAD отобразит символьный знак равенства →;

5. Щелкнуть мышью на функции Find.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид v0+v1x+… vn-1xn-1 +vnxn, лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Функция Polyroots(v)— возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Интегрирование

С помощью пакета Mathcad можно определять значение определенных интегралов на заданном промежутке или получить выражение для неопределенного интеграла. Для получения значения определенного интеграла необходимо воспользоваться панелью Calculus.

Cледует выполнить следующие шаги:

— На панели Calculus выбрать кнопку со значком определенного интеграла.

— Ввести значения концов отрезка и ввести подынтегральную функцию.

— Ввести знак равенства, появится искомое значение.

Найти значение определенного интеграла на отрезке [0;2], если подынтегральная функция (x+1)e x .

Для получения символьного решения при нахождении неопределенного интеграла следует выполнить следующую последовательность действий:

— На панели Calculus выбрать кнопку со значком неопределенного интеграла;

— Ввести подынтегральную функцию;

—С панели Evaluation ввести знак “→”, позволяющий получить символьное решение, и щелкнуть левой кнопкой мышки по свободному месту на листе, после стрелки появится искомое выражение.

Вычислить неопределенный интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид

Задание №1

В соответствии с номером своего варианта задания выбрать из таблицы 1 подынтегральную функцию и интервал изменения аргумента.

Таблица 1 – Варианты заданий

Задание №2

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Решение уравнений

Рассмотрим задачу решения системы из n линейных уравнений. Пусть нам дана система уравнений:

x_1+a_ x_2+\ldots+nx_n=b_1\\ a_ x_1+a_ x_2+\ldots+a_ x_n=b_2\\ \ldots \\ a_ x_1+a_ x_2+\ldots+a_ x_n=b_n \end \right. «>

Решить систему – значит найти такие числа, при подстановке которых в данную систему получим все n верных равенств. Составим матрицы системы.

• Составляем матрицу A, состоящую из коэффициентов при переменных (размерность n x n).
• Составляем матрицу свободных членов B (размерность ( n x 1).
• Перепишем и исходную систему в матричном виде: .

Матричный способ

Система решается аналитически. Вектор решения можно получить из следующего выражения: B»>. Можно сделать проверку подстановкой корней в уравнения.

Пример 4.6

Решить систему уравнений матричным способом. Сделать проверку.

Ниже представлено решение через обратную матрицу. Найден определитель, чтобы убедиться в существовании решения.

2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end

-24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end

\cdot B»>

-2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end

Проверка: -24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end

Использование функции lsolve()

В системе MathCAD введена встроенная функция lsolve (A,B) , которая решает систему аналитически и возвращает вектор X для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов В .

Пример 4.7

Решить систему примера 4.6, используя функцию lsolve()

2 & -6 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & 5 \\ 1 & -6 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & -7 & 9 \end

-24 \\ -5 \\ -2 \\ -8 \end

-2.65 \\ 0 \\ -2.95 \\ -2.3 \end

Символьное решение

Для решения применяем символьные преобразования. Преимуществом символьного решения является возможность решения уравнений в общем виде. Используем оператор Solve.

Пример 4.8

Пусть функции r (x,y) w(x,y) заданы системой уравнений. Найти r и w , решив систему.

Записываем систему в виде матрицы, используя логическое равенство, решается система относительно r (x,y) w(x,y) ,они тоже записываются в виде матрицы.

xr+w=y^2 \\ r+yw=5 \end

«>

«>

Пример 4.9

Решить аналитически систему уравнений:

На листинге показано точное решение системы и решение с точностью до 3 значащих цифр. Операторы solve и float набираются последовательно .

(5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end solve,\begin

\to \\ \to (-17.833333333333333333\ 24.0\ 3.8333333333333333333) «>

(5y1+4y2-y3=3) \\ (3y1+2y2+3y3=6) \\ (2y1+2.5y2-4y3=9) \end \begin solve,\begin

\\ float, 3 \end \to (-17.8 24.0 3.8)

Иногда сложные уравнения символьно не решаются, поэтому приходится обращаться к численным методам.

Численное решение. Использование блока Given Find()

Решение в скалярной форме. В данном методе система уравнений вводится без использования матриц, в «>

Пример 4.10

Решить систему уравнений, используя блок Given Find():

Предварительно указать начальные значения неизвестных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения. (Часто за них принимают столбец свободных членов).

, ,

-4.048 \\ 3.952 \\ 0.714 \end

Решить уравнение в символьном виде

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Символьная алгебра в Mathcad

Символьная алгебра в Mathcad включает в себя упрощение и разложение выражений, приведение подобны и разложение на множители.

Операции символьной алгебры можно рассмотреть в сочетании с командами рабочей панели “Символика”, реализующими данную операцию. Перечень некоторых команд и краткое их назначение в Mathcad приведены в таблице.

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Символьные вычисления в Mathcad

Результатом математических вычислений в Mathcad могут быть как числовые значения, так и символьные (аналитические) выражения, полученные посредством преобразования исходных математических выражений, описывающих условия задачи и алгоритм ее решения в символьном виде. Основными достоинствами символьных вычислений являются отсутствие погрешности вычислений и универсальность использования в различных прикладных задачах.

Выполнение символьных вычислений

В Mathcad есть несколько основных способов выполнения символьных вычислений.

Символьная алгебра

Разложение на множители, разложение и упрощение выражений.

Решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений в символьном виде в Mathcad используется специальный оператор символьного решения.

Выполнение символьных вычислений в Mathcad

Символьные вычисления в математическом пакете Mathcad осуществляется с помощью трёх основных способов:

• при помощи меню “Символика”, обеспечивающего возможность выполнения самых разнообразных символьных вычислений (решение и преобразование символьных выражений, интегрирование, дифференцирование и т.д.);
• при помощи специального оператора символьного ввода, включающего знак символьного равенства [ -> ] , иногда с добавлением операторов панели инструментов “Символика” в Mathcad;
• с использованием стандартных математических функций, в сочетании с символьным знаком равенства.