Решение алгебраических уравнений в поле комплексных чисел
Алгебраическое уравнение -ой имеет вид:
, где — неизвестная величина, а — заданные комплексные числа, причем .
В 1799 г. выдающийся немецкий математик Гаусс (1777 — 1855) доказал основную теорему алгебры: любое алгебраическое уравнение -й степени имеет ровно комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Примеры:
Решить уравнения:
Решение:
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Вычисления в полях вычетов
Рассмотрим некоторые особенности вычислений в полях вычетов. Найдем, например, определитель , элементы которого суть вычеты из поля
(Z3, +3, ×3). Если действовать «по науке», надо писать
Можно, однако, поступить проще. Будем считать элементы определителя обычными целыми числами из кольца Z, тогда d=1×1–2×2= –3.
Как найти для целого числа из Z соответствующий вычет из Zn? Для этого надо к числу прибавить (или отнять от него) величину, кратную n, чтобы результат принадлежал множеству вычетов Zn=<0,1,¼,n–1>. В данном случае прибавим 3 и получим –3+3=0 – тот же результат.
В дальнейшем станем действовать аналогично, к тому же не будем педантично ставить индекс +n, ×n около символов операций, обозначая их просто + и
× , если значение индекса n ясно из контекста.
Рассмотрим решение системы линейных уравнений над полем вычетов.
Пример. Решим над тремя полями: Q, Z3, Z5 систему уравнений A×X=B, где . т.е.
Заметим, что коэффициенты системы (0, 1 и 2), включая свободные члены, можно рассматривать не только как числа (т.е. элементы поля Q), но и как элементы интересующих нас конечных полей Z3 и Z5. В противном случае постановку задачи пришлось бы как-то изменять.
Решать систему будем по правилу Крамера. Вычислим над полем Q четыре определителя:
.
Значения неизвестных найдем по формулам Крамера: .
Приведем значения определителей в поле вычетов Z3=<0,1,2>, получим: D=0, Dx=2, Dy=2, Dz=2. Видим, что над этим полем система несовместна.
Приведем значения определителей в поле вычетов Z5=<0,1,2,3,4>: D=2, Dx=4, Dy=1, Dz=4. Значения неизвестных снова найдем по формулам Крамера: . Как понимать найденное значение неизвестной ? Дробь не является элементом поля Z5, поэтому ее надо рассматривать как выражение, которое необходимо вычислить согласно правилам действий в этом поле: (поскольку произведение 2×3=6, а 6 в поле Z5 переходит в 1). Итак, решение системы уравнений над полем Z5 таково: x=2, y=3, z=2.
Сделаем проверку (символом Þ обозначен переход от целых чисел к вычетам по модулю 5). Первое уравнение: 1×2+2×2=6 Þ 1, второе уравнение: 1×3+2×2=7 Þ 2, третье уравнение: 2×2+1×2=6 Þ 1. Видим, что найденные значения вычетов удовлетворяют системе уравнений над полем Z5.
Решим ту же систему над полем Z3 методом Гаусса. Составим расширенную матрицу: . Если бы мы решали систему над полем рациональных чисел Q, то первым шагом выполнили бы операцию (3)–2×(1). В поле Z3 коэффициенту –2 соответствует вычет 1, поэтому выполним операцию (3)+1×(1). В 1-ом столбце имеем 2+1×1=3Þ0, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем столбце 1+1×2=3Þ0, в столбце свободных членов 1+1×1=2, так что . В алгебраической форме 3-е уравнение этой системы имеет вид 0×x+0×y+0×z=2. Очевидно, что оно не имеет решения, поэтому система над полем Z3 несовместна.
Найдем решение той же системы над полем Z5 методом Гаусса. Вместо операции (3)–2×(1), с которой начинается решение этой системы над полем рациональных чисел Q, выполним операцию (3)+3×(1), поскольку в поле Z5 коэффициенту –2 соответствует вычет 3. В 1-ом столбце получим 2+3×1=5Þ0, во 2-ом столбце сохранится 0, в третьем, в 3-ем столбце имеем 1+3×2=7Þ2, в столбце свободных членов 1+3×1=4. Таким образом, получим . 3-ю строку этой матрицы можно сократить (разделить) на 2: .
Теперь выполним операции (1)+3×(3) и (2)+3×(3) – в 1-й и во 2-й строках 3-го столбца получится 2+3×1=5Þ0, остальные элементы этих строк сохраняться: .
Видим, что получилось решение, ранее найденное по правилу Крамера: x=2, y=3, z=2.
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
http://lektsii.org/14-33211.html
http://mathdf.com/dif/ru/