Решить уравнение во второй степени

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 1. Рeшeниe числовых уравнeний второй стeпени.

Уравнeнием второй степени или квадратным уравнением называeтся всякоe уравнениe, котороe посрeдством прeобразований, замeняющих его другими, совмeстными с ним уравнeниями, можeт быть привeдeно к виду ax 2 + bx + c = 0.

Послeднеe уравнeниe называeтся о б щ и м видом квадратных уравнeний. Количeства а, b и с называются коэффициентамн уравнения. Если эти коэффициeнты выражeны дробными количeствами, то их можно замeнить цeлыми количeствами. Коэффициент а всегда можно считать положитeлным. Если случайно коэффициeнт с равен нулю или b равeн нулю, то получаeтся так называемоe нeполноe квадратноe уравнение. Рeшить квадратноe уравнениe значит найти тe значeния х которые обращают данноe ураваениe в тождeство. Таких значeний или корнeй всякоe квадратноe уравнeниe имeет два.

Для рeшения нeполного уравнeния ax 2 + bx = 0 достаточно вывести в первой части eго за скобки х. Получится х(ax + b)= 0. Из этого видно, что уравнению можно удовлeтворить двумя способами: или полагая х = 0, отчeго обращаeтся в нуль первый множитель пeрвой части уравнения, или полагая х = — b /_a, отчeго обращается в нуль второй множитель. В обоих этих случаях всe произвeдeниe будет равно второй части уравнeния, т.e. равно нулю, и, слeдоватeльно, уравнениe будет удовлeтворeно.

Рассматривая второe неполноe уравнeниe ax 2 + с = 0, различим два сдучая, когда коэффициeят с отрицатeлeн и когда он положителeн. Положим, напр., что дано уравнeниe 4x 2 —7 = 0 . Рассматривая первую часть, как разность квадратов, можно разложить ее в произведениe. Получим (2х—√ 7 )(2х+√ 7 )= 0. Но произведение может быть равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнениe совмe-щает в себe два корня, удовлeтворяющиe порознь двум уравнениям первой степени 2х—√ 7 = 0 и 2х+√ 7 = 0. Значит корни его суть x₁ = √ 7 /₂ и x₂ = — √ 7 /₂

Положим тепeрь, что дано уравнeние 3x 2 + 10 = 0. Пeрвая часть eго может быть разложена в произведениe посредством мнимых количеств. Дeйствительно, так как i 2 = —1, то можно написать данноe уравнениe в видe 3x 2 — 10i 2 = 0 . Послe этого, рассматривая первую часть, как разность квадратов, имeем (√ 3 • х —√ 10 • i)(√ 3 • х + √ 10 • i) = 0, откуда видно, что данноe уравнение разлагается на два

и потому имeeт два мнимых корня

Рeшить нeполные квадратные уравнения:

Решение полного квадратного уравления ax 2 + bx + c = 0 состоит такжe в разложении первой части eго на множители. Это преобразовавие значительно упрощаeтся в том случаe, когда коэффициент при высшем членe есть единица. Замeтим, что всякоe квадратноe уравнeнио можно привести к такому виду. Нужно только раздeлить обe части на коэффициeпт а, Получим x 2 + b /_ax + с /_a = 0 Обыкновенно обозначают b /_a буквой р и с /_a буквой q, отчего уравнeниe пишeтся в видe x 2 + px + q = 0. Такой вид уравнения называeтся приведeнным. Неудобно, однако, так преобразовывать всякое уравнениe к привeдeнному виду, потому что в послeднем коэффициенты р и q часто оказываются дробными.

Рассмотрим частные виды уравнений с цeлыми коэффициентами.

Дано уравнeние x 2 — 8x + 15 = 0. В пeрвой части настоящаго сборника указывался способ для разложения трехчленов второй степени в произвeдениe. Этот способ слeдует припомнить и примeнять, гдe удобно, в нижеслeдующих задачах.

Укажем теперь другой способ, болeе сложный, но и болee общий, состоящий в прeобразовании трeхлена к виду разности квадратов. Принимая x 2 за квадрат и 8x за удвоeнноe произведение, легко видeть, что для преобразовяния x 2 — 8x к виду полного квадрата нужно прибавить ещe второй квадрат 16. Прибавляя это число к первой части данного уравнeния и затeм вычитая то жe число из нее, представим уравнение в видe x 2 — 8x + +16 — 1 = 0 или в видe (х— 4) 2 —1=0. Послe этого пeрвая часть легко разлагается в произведение,именно получаем(х— 3)(х— 5)=0 и находим два корня уравнения
x₁ = 3 и x₂ =5.

Иногда, подобное разложeние трехчлена требует ввeдeния мнимых количеств. Так, если дано уравлениe x 2 + 2x + 7 = 0 , то, преобразовав первые два члена его к виду полного квадрата, находим x 2 + 2x + 1 + 6 = 0 или (х+ 1) 2 + 6=0. Но в первой части получается теперь не разность, а сумма. Заметив, что i 2 = —1, пишем уравнение в виде
(х+ 1) 2 — 6i 2 = 0, затем разлагаем в форму (х+ 1—√ 6 • i)(х+ 1+√ 6 • i)=0 и наконец нахо-дим два мнимых корня x₁ = —1+ √ 6 • i и x ₂= —1— √ 6 • i

Если коэффициент члена, содержащего х в первой степени, есть нечетное число, то действие усложняется тем, что для составления полного квадрата нужно вводить новый квадрат от дробного числа. Напр., имеем:

Решить полные квадратные уравнения:

Так как приходится решать квадратные уравнения очень часто, то неудобно в каждом отдельном случае проделывать те преобразования, посредством которых квадратное уравнение разлагается на два уравнения первой степени. Квадратные уравнения решают по общей формуле. В курсах алгебры доказывается, что, если уравнение имеет вид
ax 2 + bx + c = 0, то корни выражаются формулой

, т.-е. корень общего квадратного уравнения равен среднему коэффициенту взятому с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом среднего коэффициента и учетверенным произведением крайних коэффициентов, все деленное на удвоенный первый коэффициент.

Кроме этой формулы нужно знать еще более простую формулу, соответствующую тому случаю, когда средний коэффициент есть четное число. Если уравнение имеет вид
αx 2 + 2βx + c = 0, то , т.е. корень квадратнаго уравнения с четным средним коэффициентом равен половине среднего коэффициента, взятой с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом этой половины и произведением крайних коэффициентов, все деленное на первый коэффициент.

Наконец, еще полезно заметить наиболее простую формулу, соответствующую тому случаю, когда первый коэффициент есть единица, а средний четное число. Если уравнение имеет вид x 2 + 2βx + c = 0, то х = —β ±√ β 2 —с , т.е. корень приведенного квадратного уравнения с четным средним коэффициентом равен половине второго коэффициента, взятой с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом этой половины и третьим коэффициентом.

Каждую из указанных формул нужно прилагать не прежде, как преобразовав уравнение к простейшему виду, в котором все коэффициенты суть целые количества и первый коэффициент положителен. Нужно помнить притом, что коэффициенты рассматриваются вместе со знаками их.

Примечание. В курсах алгебры указывается еще формула . Если уравнение имеет вид
x 2 + px + q = 0, то

Эта формула есть общая , потому что всякое квадратное уравнение может быть преобразовано в приведенное. Но для вычисления корнeй упомянутая формула неудобна, потому что приводит дeйствиe с цeлыми количествами к дeйствию с дробями.

При начальных упражнениях полeзно выписывать коэффициeнты с их знаками отдeльно от буквы, обозначающeй нeизвeстное. Для первых упражнений слeдуeт пeрeдeлать вновь примeры с 21 до 40, ужe приведенные выше.

Преобразовать к простeйшему виду и рeшить уравнeния:

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения — Наука

Содержание:

В квадратные или квадратные уравнения и неизвестное имеют видтопор 2 + bx + c = 0.Где a ≠ 0, поскольку если бы он был равен 0, уравнение было бы преобразовано в линейное уравнение, а коэффициенты a, b и c — действительные числа.

Неизвестным, которое предстоит определить, является значение x. Например, уравнение 3x 2 — 5x + 2 = 0 — полное квадратное уравнение.

Существуют также варианты, известные как неполные уравнения второй степени, в которых отсутствуют какие-либо члены, кроме топор 2 . Вот некоторые примеры:

Аль-Джуарисми, известный арабский математик античности, описал в своих работах различные типы уравнений первой и второй степени, но только с положительными коэффициентами. Однако именно французский математик Франсуа Вите первым ввел буквы для обозначения величин и предложил решение с помощью формулы решительный:

Это общая формула, позволяющая решить квадратное уравнение, найти его корни или нули, даже если решения не являются действительными. Есть и другие способы их решения.

Как решать квадратные уравнения?

Уравнения второй степени могут быть решены с использованием формулы, приведенной выше, и есть также другие алгебраические процедуры, которые могут дать результаты в некоторых уравнениях.

Мы собираемся решить уравнение, предложенное в начале, с формулой, подходящим методом для любого квадратного уравнения с одной неизвестной:

Чтобы правильно использовать формулу, обратите внимание, что:

к коэффициент при члене с x 2
б коэффициент при линейном члене
c это самостоятельный термин.

Мы собираемся идентифицировать их с помощью того же уравнения:

Обратите внимание, что знак, который сопровождает коэффициент, необходимо учитывать. Теперь подставляем эти значения в формулу:

В числителе стоит символ «плюс — минус» ±, который указывает, что величина с корнем может приниматься как положительная, так и отрицательная. Квадратное уравнение имеет не более двух действительных решений, и этот символ учитывает это.

Позвоните x₁ и х₂ к этим двум решениям, то:

Икс₂ = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Разрешение по факторингу

Некоторые уравнения второй степени состоят из трехчленов, которые легко разложить на множители. Если так, то этот метод работает намного быстрее. Рассмотрим уравнение:

Икс 2 + 7x — 18 = 0

Факторизация имеет следующий вид:

Пустые места заполняются двумя числами, которые при умножении дают 18, а при вычитании — 7. Знаки в скобках выбираются по этому критерию:

-В первой скобке знак ставится между первым и вторым слагаемыми.

-А во второй скобке указано произведение увиденных знаков.

Что касается чисел, то в этом случае их легко подсчитать: это 9 и 2. Самый большой всегда помещается в первую из круглых скобок, например:

Икс 2 + 7x — 18 = (x + 9). (х — 2)

Читатель может проверить с помощью свойства дистрибутивности, что при построении произведения правой части равенства получается трехчлен левой. Теперь уравнение переписано:

Для выполнения равенства достаточно, чтобы один из двух множителей был равен нулю. Итак, в первом x должно быть выполнено₁ = -9 или может оказаться, что второй множитель исчезнет, и в этом случае x₂ = 2. Это решения уравнения.

Графический метод

Корни или решения квадратного уравнения соответствуют пересечениям параболы y = топор 2 + bx + c с горизонтальной осью или осью x. Таким образом, при построении графика соответствующей параболы мы найдем решение квадратного уравнения, сделав y = 0.

Разрезы параболы с горизонтальной осью представляют собой решения уравнения топор 2 + bx + c = 0. Парабола, которая пересекает горизонтальную ось только в одной точке, имеет единственный корень, и он всегда будет вершиной параболы.

И наконец, если парабола не пересекает горизонтальную ось, соответствующее уравнениетопор 2 + bx + c = 0 ему не хватает реальных решений.

Построение графика вручную может быть трудоемким, но с использованием онлайн-программ для построения графиков это очень просто.

Разрешение научного калькулятора

Многие модели научных калькуляторов позволяют решать квадратные уравнения (а также уравнения других типов). Чтобы узнать это, вам нужно проверить меню.

После выбора варианта квадратного уравнения для одного неизвестного, меню просит ввести значения коэффициентов a, b и c и возвращает реальные решения, если они существуют. И есть также модели научных калькуляторов, которые работают с комплексными числами и предлагают эти решения.

Дискриминант квадратного уравнения

Чтобы узнать, имеет ли уравнение действительные решения или нет и сколько их, без необходимости сначала решать, дискриминант Δ определяется как величина под квадратным корнем:

По знаку дискриминанта известно, сколько решений имеет уравнение по этому критерию:

-Два реальных решения: Δ> 0

-Реальное решение (или два одинаковых решения): Δ = 0

-Нет реального решения: Δ 2 + 12x + 64 = 0? Идентифицируем коэффициенты:

Δ = Ь 2 — 4ac = 12 2 — 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

У уравнения есть два решения. Теперь посмотрим на этот другой:

Икс 2 — 6x + 9 = 0

Δ = (-6) 2 — 4 х 1 х 9 = 36 — 36 = 0

Это уравнение с одним решением или с двумя равными решениями.

Примеры простых квадратных уравнений

Вначале мы сказали, что уравнения второй степени могут быть полными, если трехчлен есть, и неполными, если линейный член или независимый член отсутствует. Теперь давайте посмотрим на некоторые конкретные типы:

Уравнение вида x 2 + mx + n = 0

В этом случае a = 1 и формула сводится к:

Для этого типа уравнения и всегда в зависимости от оставшихся коэффициентов, метод факторизации может работать хорошо, как мы видели в предыдущем разделе.

Неполное уравнение вида ax 2 + c = 0

Решение, если оно существует, имеет вид:

Когда a или c имеют отрицательный знак, существует реальное решение, но если два члена имеют одинаковый знак, решение будет мнимым.

Неполное уравнение вида ax 2 + bx = 0

Это уравнение быстро решается с использованием факторизации, поскольку x является общим множителем в обоих терминах. Одно из решений всегда x = 0, другое находится так:

ах + Ь = 0 → х = -b / а

Давайте посмотрим на пример ниже. Решить:

Следовательно, x₁ = 0 и x₂ = 5

Уравнения со знаменателем

Существуют различные уравнения рационального типа, в которых неизвестное может присутствовать как в числителе, так и в знаменателе или даже только в последнем, и которые с помощью алгебраических манипуляций сводятся к квадратным уравнениям.

Чтобы решить их, нужно умножить обе части равенства на наименьшее общее кратное или m.c.m знаменателей, а затем переставить члены. Например:

Уравнения высшего порядка, которые становятся квадратичными

Существуют уравнения более высокого порядка, которые можно решить, как если бы они были квадратичными, с помощью замены переменной, например это уравнение двуквадратный:

Икс 4 — 10x 2 + 9 = 0

Пусть x 2 = u, тогда уравнение принимает вид:

или 2 — 10u + 9 = 0

Это уравнение быстро решается путем факторизации, нахождения двух чисел, которые умножаются на 9 и складываются с 10. Это числа 9 и 1:

Следовательно, решениями этого уравнения являются u₁ = 9 и u₂ = 1. Теперь возвращаем изменение:

Икс 2 = 9 → х₁ = 3 и x₂ = -3

Икс 2 = 1 → х₁ = 1 и x₂ = -1

Исходное уравнение имеет порядок 4, поэтому у него не менее 4 корней. В примере это -3, -1, 1 и 3.

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующее квадратное уравнение с неизвестным в знаменателе:

Наименьшее общее кратное — это x (x + 2), и вы должны умножить все члены:

Эквивалентное выражение остается:

5х (х + 2) — х = х (х + 2)

5x 2 + 10х — х = х 2 + 2x

Все слагаемые переносим слева от равенства, а справа оставляем 0:

5x 2 + 10х — х — х 2 — 2x = 0

Мы учитываем, поскольку это неполное уравнение:

Одно из решений x = 0, другое:

— Упражнение 2.

Найдите решение квадратных уравнений:

а) -7x 2 + 12x + 64 = 0

б) х 2 — 6x + 9 = 0

Решение для

Из этого уравнения мы знаем определитель Δ, потому что он был вычислен в качестве примера ранее, поэтому мы собираемся воспользоваться им, выразив разрешающую формулу следующим образом:

Икс₁ = (-12+44) / -14 = – (32/14) = – (16/7)

Икс₂ = (-12 – 44) / -14 = 4

Решение б

Квадратный трехчлен x 2 — 6x + 9 факторизуем, так как это трехчлен полного квадрата:

Икс 2 — 6х + 9 = (х-3) 2 = 0

Решение этого уравнения — x = 3.

— Упражнение 3.

Какое уравнение имеет решения 3 и 4?

Решение

Применение распределительного свойства:

Икс 2 — 4х -3х + 12 = 0

Два центральных члена похожи и могут быть сокращены, в результате чего остается:

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x 2 − 4 = 0 .

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x 2 = 4 . Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a , где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4 . Очевидно, что при значениях 2 и −2 . Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a , если b 2 = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x 2 = 4 ? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x . Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2 .

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2 . То есть корнями уравнения x 2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25 . Какое число в квадрате равно 25 ? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5 . Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2) 2 = 25 являются числа 3 и −7 .

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2) 2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25 . Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5 . Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7 .

Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁ , а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x 2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2 . Эти корни можно было обозначить как x₁ = 2 и x₂ = −2.

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2) 2 = 25 . Подставим в него корни 3 и −7 . Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25 , то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25 . Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0 ,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x 2 + 2x = 16 . В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Для этого в уравнении 3x 2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

Получили уравнение 3x 2 + 2x − 16 = 0 . В этом уравнении a = 3 , b = 2 , c = −16 .

В квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа a , b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x 2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3 ; вторым коэффициентом является число 2 ; свободным членом является число −16 . Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x 2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3 , 2 и −16 .

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x 2 + x = 0 , то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax 2 + bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x 2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5 , он должен располагаться в конце левой части. Член 4x 2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a , b и с .

Если коэффициенты a , b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 .

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 . В этом уравнении a = 2 , b = 6 , c = −8 . Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x 2 − 8 = 0 . Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Значит корнями уравнения 2x 2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax 2 + bx + c = 0 , то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 .

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0 . В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x 2 − 4 = 0 .

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x 2 − 4 = 0 . Оно тоже является уравнением вида ax 2 + c = 0 , то есть неполным. В нем a = 1 , b = 0 , с = −4 .

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x 2 + 6x=0 , которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0 . Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0 . Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x 2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x 2 = 0 . Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0 . Действительно, 2 × 0 2 = 0 . Отсюда, 0 = 0 . При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x 2 − 32 = 0 , то мы говорим, что b = 0 . Потому что если сравнить с полным уравнением ax 2 + bx + c = 0 , то можно заметить, что в уравнении 2x 2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a , равный 2; присутствует свободный член −32 ; но отсутствует коэффициент b .

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . В качестве примера решим квадратное уравнение x 2 − 2x + 1 = 0 .

Итак, требуется найти x , при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1) 2 .

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0 . Поэтому наша задача найти x , при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0 , можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1) 2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0 . Отсюда x = 1 .

Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x 2 + 2x − 3 = 0 .

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1) 2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4 . Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2 . Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2 , корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3 .

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x 2 + 28x − 72 = 0 , выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x 2 . Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x , то есть (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x 2 . Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x 2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x 2 . Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2 . Это позвóлит избавиться от двойки перед x 2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 , в самом начале мы разделили обе его части на 2 . В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x 2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x , при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x 2 + x + 2 = 0 , то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax 2 + bx + c = 0 , и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a , b , с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a , b и c .

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b 2 − 4ac .

Выражение b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель . Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x 2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x 2 + x + 2 = 0 коэффициенты a , b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b 2 −4ac

D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b 2 − 4ac . Подставим в уравнении вместо выражения b 2 − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D , то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0) , то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения .

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂ . То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x 2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1 , 2 и −8 . То есть, a = 1 , b = 2 , c = −8 .

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b 2 − 4 ac . Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x 2 + 2x − 8 = 0

D = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4 . Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1 , b = −6 , c = 9 . Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b 2 − 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0) . Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x 2 + 4x + 4 = 0 является число −2 .

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения (x + 4) 2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8 .

Ответ: 3 ; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2 . Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1 .

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6 . Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9 .

Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9 .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5 .

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5 , .

Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0 , −1,6 .

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x , при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м 2 . При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x . А длину комнаты через 2x , потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

По условию задачи площадь должна быть 8 м 2 . Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2 . Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x . Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

Значит длина равна 4 м , а ширина 2 м . Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м 2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м , а ширина 2 м .

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м 2 . Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200 , получим уравнение:

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30 . Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10 . Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

40 × 30 = 1200 м 2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

источники:

http://ru1.warbletoncouncil.org/ecuaciones-de-segundo-grado-13071

http://spacemath.xyz/kvadratnoe-uravnenie/