Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Уравнение высоты треугольника по координатам формула
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | . | 2. | . |
3. | . | 4. | . |
5. | . | 6. | . |
7. | . | 8. | . |
9. | . | 10. | . |
11. | . | 12. | . |
13. | . | 14. | . |
15. | . | 16. | . |
17. | . | 18. | . |
19. | . | 20. | . |
21. | . | 22. | . |
23. | . | 24. | . |
25. | . | 26. | . |
27. | . | 28. | . |
29. | . | 30. | . |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10637 – | 8008 – или читать все.
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ |
Вы можете заказать решение работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Нужны сторона AB, высота CD, медиана AE и площадь. Координаты вершин А(-8;-3) В(4;-12) С(8;10)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1,y1) и (x2,y2), описывается уравнением:
Для прямой AB:
(x+8)·(-9)-(y+3)·12 = 0
-9x-72-12y-36 = 0
9x+12y+108 = 0
3x + 4y + 36 = 0
Для отыскания уравнения высоты CD найдем сначала уравнение прямой, которая ей перпендикулярна. Это прямая AB (уравнение у нас есть). Выразим y через x явно:
y = -(3/4)x-9
Если прямая задана уравнением y = kx+b, то перпендикулярная ей прямая будет иметь вид y = (-1/k)x + d. Поэтому искомая высота имеет уравнение:
y = (4/3)x + d. Постоянную d найдем из условия, что высота проходит через точку С.
10 = (32/3) + d,
d = -2/3
Таким образом, уравнение высоты CD: y = (4/3)x – 2/3, или, что то же, 4x-3y-2 = 0
Медиана AE проходит через две точки – точку А и середину отрезка BC. Найдем координаты середины BC по формуле:
X = (x1+x2)/2, Y = (y1+y2)/2. Искомые координаты: XE = 6, YE = -1
Теперь ищем уравнение прямой, идущей через две точки: A(-8;-3) и E(6;-1) по указанному выше уравнению.
(x+8)·2-(y+3)·14 = 0
x+8-7y-21 = 0
x-7y-13 = 0
Это уравнение медианы AE.
Площадь треугольника, заданного на плоскости координатами вершин (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3) определяется выражением:
S = (1/2)·|(x3-x1)·(y2-y1) – (y3-y1)·(x2-x1)|
S = (1/2)·|16·(-9)-13·12| = 300/2 = 150 (кв. ед.)
Задача 34285 1. Составить уравнение сторон.
Условие
1. Составить уравнение сторон треугольника, если одна из его вершин точка M(1;2), а прямые l1(4x-y+1=0) и l2(2x-y+1=0) высоты этого треугольника
2. Найти расстояние от точки M(1;2) до прямой l1(4x-y+1=0)
Решение
1.
Составляем уравнение сторон, перпендикулярных данным прямым:
Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))
Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4
[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b] ⇒[b] 4y+x-8=0[/b]
Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))
Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4
[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b]
Уравнение прямой 2x-y+1=0 можно записать
y=2x+1
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/2
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=(-1/2)*1+m
b=2 целых 1/2
[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b]⇒ [b]2y+x-5=0[/b]
Находим точку пересечения высот.
Решаем систему уравнений
<4x-y+1=0
<2x-y+1=0
Вычитаем из первого уравнения второе.
х=0
y=1
Н(0;1)
Cоставляем уравнение третьей высоты, проходящей через M и Н.
y=kx+1
2=k*1+1
k=1
[b]y=x+1 — уравнение прямой MH[/b]
Перпендикулярная ей прямая имеет угловой коэффициент (-1)
[b]y=-x+h[/b] — уравнение прямых, перпендикулярных МН.
Эта прямая проходит через точку А пересечения высоты K y=2x+1 и стороны
y=(-1/4)x+(9/4)
или точку В пересечения
высоты y=4x+1 и стороны
y=(-1/2)x+(5/2)
Подставляем координаты точки B(1/3;7/3) в уравнение прямой y=-x+h
и находим h
7/3=-(1/3)+h
h=8/3
[b]y=-x + (8/3)[/b] — уравнение АВ
О т в е т.
[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4[/b];
[b]y=(-1/2)x + 2 целых 1/2[/b];
[b]y=-x + (8/3)[/b]
2.Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)=3*sqrt(17)/17[/b]
http://4apple.org/uravnenie-vysoty-treugolnika-po-koordinatam/
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=34285