Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :
Интегрируем:
Интеграл по y — табличный:
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные:
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Общее решение уравнения:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015
Функция Лагранжа
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:
- составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений gi(x);
- находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂xi, ∂L/∂λi;
- составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂xi = 0.
- определяются переменные xi и множители Лагранжа λi.
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.
Правило множителей Лагранжа
Пример 1 . Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x1 2 + x2 2
h1(x) = 2x1 + x2 -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x1 2 + x2 2 + λ(2x1 + x2 – 2) → min
Решение:
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x,
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x * = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x1 * и x2 * в уравнение ограничений 2x1 + x2 -2 = 0, откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x * с координатами x1 * = 0.8 и x2 * = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x * = [0.8; 0.4] T , f(x * ) = 0.8
Пример 2 . Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)max = x 2 + 8xy+3y 2 при данных уравнениях связи.
9x +10y = 29
Уравнение Лагранжа
Вы будете перенаправлены на Автор24
Общий метод решения уравнения Лагранжа
Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $F\left(x,y,y’\right)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=f\left(x,y’\right)$.
Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=x\cdot \phi \left(y’\right)+\psi \left(y’\right)$, в котором $\phi \left(y’\right)\ne y’$.
Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.
При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=p\cdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\left(p\right)$ и её производной $\frac
Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=F\left(p,C\right)$.
Подставив полученный результат в соотношение $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$, получим $y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$ и подстановки их в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Решение типичных задач
Решить дифференциальное уравнение $y=-x\cdot y’+y’^ <2>$.
Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=-y’$ и $\psi \left(y’\right)=y’^ <2>$.
Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-x\cdot p+p^ <2>$, а также $\phi \left(p\right)=-p$ и $\psi \left(p\right)=p^ <2>$.
Теперь получим уравнение вида $\frac
Уравнение приобретает вид: $\frac
Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:
- Стандартный вид $\frac
+\frac<1><2\cdot p>\cdot x=1$, где $P\left(p\right)=\frac<1><2\cdot p>$, $Q\left(p\right)=1$. - Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac<1><2\cdot p>\cdot dp =\frac<1><2>\cdot \ln \left|p\right|$.
Записываем частное решение $v\left(p\right)=e^<-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|> $, выполняем упрощающие преобразования: $\ln v\left(p\right)=-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|$; $\ln \left(v\left(p\right)\right)^ <2>+\ln \left|p\right|=0$; $\left(v\left(p\right)\right)^ <2>\cdot \left|p\right|=1$.
Выбираем для $v\left(p\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(p\right)=\frac<1> <\sqrt
> $.
\cdot dp =\int \sqrt \cdot dp =\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> $ и получаем $u\left(p,C\right)=\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> +C$.
> =\frac<2><3>\cdot p+\frac > $. Подставляем полученный результат в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$. Получаем: $y=-\left(\frac<2> <3>\cdot p+\frac > \right)\cdot p+p^ <2>=\frac<1> <3>\cdot p^ <2>-C\cdot \sqrt $. Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin > > \\ > \end Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$: получаем $p=0$. Подставляем $p=0$ в $y=-x\cdot p+p^ <2>$ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=\frac<1> <3>\cdot p^<\frac<3> <2>> $. Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y’\cdot \left(y’+2\right)$. Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=y’\cdot \left(y’+2\right)$ и $\psi \left(y’\right)=0$. Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$, а также $\phi \left(p\right)=p\cdot \left(p+2\right)$ и $\psi \left(p\right)=0$. Теперь получим уравнение вида $\frac Уравнение приобретает вид: $. \cdot dp =2\cdot \ln \left|p\right|$. Подставляем полученный результат в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$. Получаем: $y=\frac > \cdot p\cdot \left(p+2\right)$ или $y=C\cdot \left(1+\frac<2> \right)$. Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin > > \\ \right)> \end Параметр $p$ из этой системы можно исключить: $p=\frac <\sqrt Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=-p^ <2>-p=0$. Получаем: $p\cdot \left(p+1\right)=0$, откуда имеем два корня $p=0$ и $p=-1$. Подставляем первый корень $p=0$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем первое дополнительное решение данного уравнения $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=0$. Подставляем второй корень $p=-1$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем второе дополнительное решение данного уравнения $y=-x$. Это решение является особым, так как не получается из общего ни при каком $C$. http://math.semestr.ru/math/lagrange.php http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_lagranzha/Готовые работы на аналогичную тему