Решить уравнения приводимое квадратным 8 класс

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным — это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax 2 + bx + c = 0 — квадратное уравнение,

где x — это неизвестное, а a, b и c — коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

то получится x 2 + px + q = 0.

Уравнение x 2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

является приведённым, а уравнение:

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения	Формула корней
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + 2kx + c = 0
x 2 + px + q = 0	или если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

это преобразованное уравнение ax 2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b — четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как в уравнении второй коэффициент — чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Приведём уравнение к общему виду:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Определим, чему равны коэффициенты:

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Алгебра. 8 класс

Квадратное уравнение x 2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x₁ = 2; x₂ = 4.
x₁ • x₂ = 8 – равно свободному члену;
x₁ + x₂ = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x 2 + px + q = 0.

D = p 2 – 4q.
Пусть D > 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:
и .

Найдём сумму и произведение корней:

Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.

Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x 2 + 9x + 7 = 0.

D = b 2 – 4ac = 9 2 – 4 • 2 • 7 = 25 > 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

По теореме Виета

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x 2 + px + q = 0.

Запишем уравнение x 2 + px + q = 0 в виде x 2 – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:
y 2 – (y + z)y + y • z = 0.

Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.

Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.

x 2 + 13x + 40 = 0
D = 13 2 – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 > 0, значит, уравнение имеет два корня.

Подберём такие x₁ и x₂, чтобы

Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x₁ = –5; x₂ = –8.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.

Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных — смотрите здесь .

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения:

Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак.

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_2=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac<-b + \sqrt><2a>\) и \(x_1=\frac<-b - \sqrt><2a>\).

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут ).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета . Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).