Решить уравнения с параметром 9 класс

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009

Решение квадратных уравнений с параметром в 9 классе
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

В работе рассмотрены примеры решения квадратных уравнений с параметрами по материалам ЕГЭ прошлых лет.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение квадратных уравнений содержащих параметры в 9 классе.

При решении задач с параметрами приходится всё время производить несложные, но последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи – незаменимое средство для тренировки логического мышления. Их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи. А привычка к математическим рассуждениям очень полезна при изучении высшей математики и использовании полученных знаний впоследствии.

Для квадратного уравнения a в ыделяем три случая: 1. Если D= — 4 ac 0 ветви параболы направлены вверх, причем абсцисса вершины параболы является точкой минимума. При а 1, то данная функция монотонно возрастает и максимум данная функция достигает в той точке, что и у квадратичной функции f(x) = — + ax + 7. У этой параболы ветви направлены вниз, следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т.е. в точке = . Согласно условию = 4, следовательно a = 8. Ответ: а = 8.

Пример 2 . Решите уравнение (а – 1 ) + 2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0. Решение . По виду это уравнение представляется квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно, и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент перед обращается в нуль и уравнение становится линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются по разным алгоритмам. Итак нам надо рассмотреть два случая: а = 1 и а ≠ 1.

Пусть а =1, тогда уравнение принимает вид: 0· Решив это уравнение , получаем: х = — . Частичный ответ : если а = 1, то х = — .

Пусть а ≠ 1. Мы имеем квадратное уравнение (а – 1 ) + 2(2a + 1)x +(4a + 3) = 0 . Найдем его дискриминант: D =( — Итак, D = . Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта. Если D 0 , то уравнение имеет два корня. Дискриминант обращается в нуль при а = — , положителен при а > — , отрицателен при а — (но, напомним а ≠ 1). В этом случае дискриминант больше нуля и квадратное уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле корней квадратного уравнения: = Частичный ответ : при а > — ( а ≠1) =

Осталось рассмотреть случай, когда а = — . Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем = = — . Частичный ответ : при а = — , х = — . Ответ: если а =1, то х = — если а = — , то х =- если а > — ( а ≠1 ), то = если а 0, и ветвями вниз, если 2а 0) или на рис. 2 (для 2а 0 ветви параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно пересекается с осью Ох ( в крайнем случае касается её), иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть, значит дискриминант не отрицателен. В-третьих, в точке х =1 имеем f(1)>0. В четвертых, 0, а из третьего получаем а 0 , а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств можно отбросить. Далее имеем: Решением данной системы является -4 0. -4 -2-12)>0, п олучаем а (-3;4). По теореме Виета + = -2a ; · =2 — a -12. Следовательно, + = ( -2 = 2 a +24. Т.к. a О твет :

Вывод: основой для усвоения материала является здравый смысл ученика, а не только и не столько его предварительные знания. Спасибо за внимание .

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе

Теоретические аспекты обучения решению уравнений в 8 классе. Основные направления изучения линий уравнений в школьном курсе алгебры. Методика изучения квадратных уравнений. Методико-педагогические осн.

Графический метод решения квадратных неравенств. Алгебра. 8 класс.

Презантация к уроку «Графический метод решения квадратных неравенств» содержит примеры 8 основных типов квадратных неравенств. Анимация, содержащаяся в презентации позволяет преп.

Программа элективного курса «Решение задач с параметром» (10 класс)

К программе элективного курса прилагаются дидактические материалы для занаятий.

Решение квадратных уравнений в 8 классе

Карточки по теме «Решение квадратных уравнений» в 8 классе содержат по три вопроса разного кровня сложности, в каждом из которых по два уравнения.

Формирование умения решения квадратных уравнений в 8 классе.

Сухие строки уравнений-В них сила разума влилась.В них объяснение явлений,Вещей разгаданная связь.( Л.М.Фридман) Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводитс.

Графическое решение квадратных уравнений. Алгебра. 8 класс.

Вашему вниманию представляем методические материалы к уроку алгебры в 8 классе по теме «Графическое решение квадратных уравнений».

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по курсу внеурочной деятельности «ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ» 11 класс

Рабочая программа курса внеурочной деятельности «Занимательная математика. Решение задач с параметром» общеинтеллектуальной направленности рассчитана на один год, ориентирована на обучающи.

Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации по математике в 9-х классах
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. В данной работе приведены методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, уравнений с параметрами, содержащими модуль, рассмотрен аналитический и графический способ решения данных задач .

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Люльпанская средняя общеобразовательная школа»

«Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации

по математике в 9-х классах»

Выполнила: учитель математики

В последние десятилетия на вступительных экзаменах в вузы стали предлагаться задачи, решить которые, как правило, было можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. К такому типу задач относились и задачи, содержащие параметр. Такие задачи обычно предлагались в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов, с 2002 года были включены и в задания части «С» ЕГЭ, а в дальнейшем стали предлагаться и на государственной итоговой аттестации по математике в 9-х классах.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В своё время в связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Профильность обучения достигалась за счет различных учебных курсов, в том числе элективных курсов. В 2010 году мной был разработан и проведен элективный курс для девятиклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Основными формами его проведения являлись изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, практикумов по решению задач.

В настоящее время, поскольку в базисном учебном плане школы не предусмотрены элективные курсы для 9-х классов, данная тема включена мной в рабочую программу по алгебре в 9 классе в объеме 10 часов: 7 часов после изучения основных тем и 3 часа в рамках итогового повторения.

Задачи с параметрами — это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо, прежде всего, умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению можно объяснить следующими обстоятельствами:

• при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;
• решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;
• происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
• приобретаются навыки к исследовательским работам;
• помощь при подготовке к экзаменам;
• происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы, которую можно начинать с учащимися 9-х классов.

1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Что такое параметр?

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречаются в 7, 8 классах при введении некоторых понятий:

— функция прямая пропорциональность: y=kx (x и y – переменные; k – параметр, k≠0);

— линейная функция: y=kx+b (x и y – переменные; k и b – параметры);

— линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a и b – параметры);

— квадратное уравнение: ax 2 +bx+c=0 (x – переменная; a, b и c – параметры, a≠0).

Если вспомнить некоторые основные уравнения (например, k x+b=0, a x 2 +bx+c=0), то можно обратить внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, приведу следующий его простейший вариант.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a –1 не следует неотрицательность значений выражения a –1, и если a –1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

1.3 Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения. Но иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине выделены как основные. Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.4 Основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

По мнению большинства авторов различных сборников по решению задач с параметром, аналитический способ решения задач есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a ).

Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Как уже говорилось выше, многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Существует множество книг, статей, пособий различных авторов, где рассматриваются различные методы и способы решения задач данного вида. В данной работе я приведу лишь методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, поскольку именно эти виды уравнений изучаются в основной школе и включаются в часть 2 модуля «Алгебра» ГИА по математике. Вначале рассмотрим аналитический метод решения задач с параметром.

2.1 Линейные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0· х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0 уравнение (1) принимает вид 0· х = -2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение (1) принимает вид 0· х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х= , откуда х= .

Ответ: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х – любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х = .

2.2 Квадратные уравнения

Квадратное уравнение ах 2 +bx+c=0 можно рассматривать как уравнение с параметрами, где х – неизвестное, а, b, с – параметры.

Уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если а=0, то имеем линейное уравнение bx+c=0

2) если а≠0 и дискриминант уравнения D

3) если а≠0 и дискриминант уравнения D=0, то уравнение имеет единственное решение х=- .

4) если а≠0 и дискриминант уравнения D>0, то уравнение имеет два различных решения .

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1) х 2 +2 (2а+1)х+(4а+3) =0 (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (2) является линейным, а при а 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (2) примет вид 6 х +7=0. Из этого уравнения

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а о , то при переходе значения D через точку а о дискриминант может изменить знак (например, при а о D а о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а о корней нет, так как D а о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D =4(2а+ l) 2 — 4(а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D = 4(5а+4).

Из уравнения D=0 находим а= — — второе контрольное значение параметра а. При этом если а , то D a ≥ — и a ≠ 1, то D≥0.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а и в случае, когда < a ≥ - и a ≠ 1>.

Если а , то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же < a ≥ - , a ≠ 1 >, то находим x 1,2 = .

Ответ: 1) если а , то корней нет; 2) если а = 1, то х = — ;

3) a ≥- и a 1 , то x 1,2 = .

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение.

Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому, как и в примере 2, надо рассмотреть два случая.

1) а+6=0, а=-6. При этом получаем линейное уравнение -12х+1=0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить.

2) а -6. В этом случае уравнение (3) является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D=0, т.е.

D=4а 2 – 4(а+6)=4(а 2 – а – 6)=0 (а 2 – а – 6)=0 а 1 =3, а 2 =-2.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=-6, а=-2, а=3.

Пример 3. Определить все значения параметра а, при которых уравнения

х 2 +ах+1=0 и х 2 +х+а=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Предположим, что уравнения имеют общий корень х=х 0 . Тогда

откуда, вычитая второе уравнение из первого, получаем

1) Если а=1, то последнее уравнение всегда выполняется. При этом оба исходных уравнения совпадают и имеют вид х 2 +х+1=0. Это уравнение действительных корней не имеет.

2) Если а 1, то х 0 =1. Подставив х 0 =1в любое из уравнений системы, находим а=-2. При этом исходные уравнения имеют вид х 2 -2х+1=0 и х 2 +х-2=0. Эти уравнения имеют общий корень х=1.

2.3 Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Уравнение имеет смысл при х – 2а≠0 и ах – 1≠0, т.е. х ≠2а, ах≠ 1.

Если х 2а, ах 1, то умножив обе части уравнения на (х-2а)(ах-1), получим

ах – 1 =2х – 4а или (а – 2)х = 1 – 4а.

1) Если а — 2 =0 ⇔ а=2, то уравнение имеет вид 0·х= — 7. Это уравнение корней не имеет.

2) Если а – 2  0 ⇔ а 2, то х= .

Теперь найдем те значения параметра а, при которых х=2а или ах=1. Имеем:

= 2а ⇔ 1- 4а=2а 2 – 4а ⇔ а = ±

=1 ⇔ а- 4а 2 = а – 2 ⇔ а = ±

Таким образом, если а = ± , то уравнение не имеет решения.

Ответ: если а = ± ; а=2, то уравнение корней не имеет,

если а  ± ; а≠2, то х= .

Пример 2. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а 0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х 2 +2 (1 — а) х +а 2 — 2а- 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

D =4 (1 — a) 2 — 4(a 2 — 2а — 3) = 16.

Находим корни уравнения (5):

х 1 =а + 1, х 2 = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.

Если х 1 +1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= -2. Таким образом, при а= -2 х 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 1 +2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= -3. Таким образом, при а= -3 x 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 2 +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х 2 – посторонний корень уравнения (4)’.

Если х 2 +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х 2 – посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х=-3-3= -6;

при a= -2 х= -2 -3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

Ответ: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= -2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

а  0; то х 1 = а + 1,

2.4 Уравнения с параметрами, содержащие знак модуля

Особого рассмотрения требуют уравнения с параметрами, содержащие модуль.

Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение:

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль, и решим 3 системы:

-x-3+ax-a=4 x= , если а≠1.

Найденный х будет решением, если +3 ⇔  a  (-1;1)

x+3+ax-a=4 x= =1, если а≠-1.

Найденный х удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при а  — 1. Если же а=-1, то решением является любой х[-3;1].

x+3-ax+a=4 x= =1, если а≠1.

Найденный х не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при а 1. Если же а=1, то решением является любой х>1.

Ответ: при a  (-1;1) x= ; при а=-1 х [-3;1]; при а=1 х(1;+∞); х=1 является также решением при всех а.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ||2x| — 4| =x+a имеет три различных корня.

Решение. Раскроем внутренний модуль. Имеем

|2x-4| = x+a, 2x-4 = x+a

⇔ x≥0 и х+а ≥0

|2x+4| = x+a, 2x+4 = x+a

х

Полученная совокупность систем и уравнений равносильна совокупности следующих четырех систем.