Решить возвратное уравнение 9 класс

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Решение возвратных уравнений (урок).

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение возвратных целых уравнений с помощью введения новой переменной.

Урок изучения нового материала.

Цели: рассмотреть один из видов целых уравнений – возвратные уравнения 4 степени, научиться их решать; совершенствовать навык решения целых уравнений, в том числе, методом введения новой переменной, подготовка к экзамену.

Актуализация знаний: решение заданий из открытого банка заданий ОГЭ.

1. Ответ: -2.

2. Ответ: -3; 6.

3. Ответ: 4

4. Ответ: х

5. Ответ: -1 x

6. Ответ:

Изучение нового материала: Возвратные уравнения 4 степени, это уравнения вида:

1.Разделить обе части уравнения на х 2 .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = , тогда выполнено t 2 = , т.е. = t 2 – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

Закрепление материала: Решение заданий: 7. Ответ: 0,5; 2.

8. Ответ: -0,5; -1/3; 2; 3.

Подведение итогов. Выставление отметок. Домашнее задание: п. 16, № 350, 373 а), 370 а).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 043 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 3. Квадратичная функция и ее график

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 10.12.2017
• 954
• 13

• 10.12.2017
• 1134
• 13

• 10.12.2017
• 1658
• 25

• 10.12.2017
• 457
• 3

• 10.12.2017
• 692
• 0

• 10.12.2017
• 232
• 0

• 10.12.2017
• 323
• 0

• 10.12.2017
• 412
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 10.12.2017 1974
• DOCX 196.5 кбайт
• 22 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Максименко Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 38962
• Всего материалов: 26

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение рациональных уравнений сложного вида в 9-м классе

Разделы: Математика

Цели:

• Обобщить и углубить знания обучающихся по данной теме;
• Научить использовать различные методы решения: метод разложения на множители – группировки, метод замены переменной – подстановки для подведения рациональных уравнений сложного вида к более простому;
• Познакомить с различными видами рациональных уравнений: симметрических, частного случая возвратных уравнений и с методом их решения;
• Побуждать ребят к взаимоконтролю, самоконтролю и самоанализу при выполнении заданий;
• Оказывать взаимовыручку, поддержку со стороны одноклассников – ассистентов.
• Добиваться получения новых знаний через самостоятельное выполнение заданий с последующей взаимопроверкой.

Оборудование: доска раздвижная, листы – задания для устного счета, компьютер, экран.

Время: 90 минут – 2 урока.

1. Проверка домашнего задания (5 минут).

На доске (на обратной стороне) заранее на перемене учащимися записаны решения. Ученики меняются тетрадями друг с другом по парте и после проверки ставят оценки “5” – нет ошибок; “4” – 1 -2 ошибки; “3” – 3-4 ошибки, а более – “ 2”.

2. Устный тест – повторение:

На парте лежат карточки с решениями и ответы к ним, выбрать правильный ответ и объяснить почему?

задания / ответы	1	2	3	4
(х-3) (х+7)=0	3; 7	3; -7	-3;7	-3;-7
х 2 – 6х + 5 = 0	5;1	2;3	-5;-1	-2; -3
х 2 – 25 = 0	0;5	1;25	-5;5	Нет решения
х 2 + 4х + 7 = 0	3,5; 2	Нет решения	2+; 2-	1; 2,5
3(1-х)+2 = 5 – 3х	Нет решения	3;1	Множество корней	0;5

Правильные ответы: 1 задание – 2; 2 зад. – 3; 3 зад. – 3; 4 зад. – 2; 5 зад. – 3.

Учитель: Под рациональным уравнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде: а_nx n + a_n-1x n-1 + … a₂x 2 + a₁x + a₀ =0, где a_n, a_n-1, …a₀ – заданные числа, а х – неизвестное. Простейшие рациональные уравнения мы решаем с помощью четырех основных методов.

(Метод перехода от равенства, связывающего функции, к равенству, связывающему аргументы; метод замены переменной; метод разложения на множители – группировки; функционально – графический метод).

Мы научились решать рациональные уравнения второй степени, а третьей, четвертой?

А каким методом вы решите уравнение вида a) х 3 – 8 + х – 2 = 0?

Подсказка: желательно подвести к произведению многочленов.

Да, верно, используем метод разложения на множители – группировки. Группируем слагаемые, применим формулы сокращенного умножения и получим произведение нескольких множителей – многочленов в левой части уравнения, а в правой – нуль.

(Вызывается ученик сильный в математике, а если нет, то показывает учитель ход решения).

б) А при таком уравнении х 3 – 3х + 2 = 0 можно использовать метод группировки?

Перепишем уравнение, записав , получим , а теперь сгруппируем (х 3 – х) – (2х -2) = 0. Дальнейшее решение самостоятельно, а один ученик выходит к доске, решает на другой стороне, затем учащиеся сверяют.

Учитель: Вспомним, при решении биквадратных уравнений какой метод мы использовали? Самый распространенный из всех методов – да, метод замены переменной – метод подстановки. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху. На сегодняшнем уроке мы это и рассмотрим.

Разберем решение данного уравнения:

Освободимся от знаменателя, t 2 + 4t + 3 = 0, где t ? 0.

Дорешать самостоятельно, дальнейшее решение проецируется на экран.

По формуле решаем второе уравнение =

= = = = =

Ответ: х₁ = -5, х₂ = 1, х₃ = , х₄ = .

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

г) (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 + 5) 2 = 157.

Метод замены переменной легко увидеть, если воспользоваться формулой квадрата суммы для второй скобки. (х 2 + 10х ) 2 + (х 2 +10х + 25) = 157; (Далее решает ученик у доски, а остальные – самостоятельно).

Пусть тогда получим

х 2 + 10х = 11 или х 2 + 10х = -12. Решая эти уравнения, получим

Ответ: <-11; 1; -5 >. +

Учитель: Рассмотрим уравнение вида

Найдем равенство сумм пар чисел -7 + 2 = -1 – 4,

Перемножим между собой первую и третью, вторую и четвертую скобки, получим (х 2 – 5х – 14) ((х 2 – 5х + 4) – 40.

Введем замену: х 2 – 5х – 14 = t, где t – любое число, получим t(t + 18) = 40, t 2 + 18t – 40 = 0.

(Работает учитель, показывая ход решения или ученик с помощью учителя).

Решим данное уравнение по т. Виета

Решим систему уравнений

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = х₄ =

Проверка решения данного уравнения с помощью проекции решения на экране.

+1 + 4 = + 2+ 3. Данное условие равенства выполняется, поэтому раскроем скобки, группируя первый множитель с последним и второй с третьим.

Тогда данное уравнение примет вид: (х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х +6) = 24.

Полагая х 2 + 5х = t, получим квадратное уравнение (t +4)(t +6) = 24,

решая его t 2 + 10t =0, t(t + 10) =0, найдем корни t₁ =0, t₂= -10.

Затем решаем уравнения

Учитель: Уравнения вида а₀х n + a₁x n-1 + … + a_kx k + … + a₁x + a₀ = 0, где коэффициенты членов, равно от стоящих от концов, равны между собой, называют симметрическими уравнениями.

Симметрические уравнения обладают следующими свойствами:

1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень х = -1, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой;

2. Уравнение четной степени 2n решаются с помощью подстановки

V = x + сводится к уравнению степени n.

Данное уравнение симметрическое, так как коэффициенты равно отстоящих от концов, равны между собой. Степень уравнения нечетная равная 5, поэтому корень данного уравнения х = – 1.

Пусть Разделим левую часть уравнения на х + 1 и получим симметрическое уравнение четвертой степени:

Разделим обе части уравнения на х 2 : 2х 2 + 3х – 16 + 3• + 2• 1/х 2 = 0, и сгруппируем члены уравнения: 2(х 2 + 1/х 2 ) + 3 (1 + ) – 16 = 0.

Используем метод замены переменной при t = x + , возведем в квадрат обе части уравнения, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение 2 t 2 + 3t – 20 = 0. Находим корни t = = = t₁ = , t₂ = -4. Таким образом , исходное уравнение четвертой степени равносильно совокупности уравнений x + и x + = -4.

Решив данные уравнения, получим еще четыре корня исходного уравнения.

Ответ: х₁ = -1, х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2, х₅ = .

Учитель: Прошу вас, ребята, решить самостоятельно с последующей проверкой симметрическое уравнение четвертой степени. А почему оно симметрическое?

з) 2х 4 + 3х 3 – 16 х 2 + 3х + 2 = 0.

Разделим обе части уравнения на х 2 , получим 2х 2 + 3х – 16 + + 2/х 2 =0.

Сгруппируем (2х 2 + 2/х 2 ) + (3х+ ) – 16 = 0, 2(х 2 +12/х 2 ) + 3(х+ ) – 16 =0.

Введем метод замены переменной, обозначим х+ = t, возведем в квадрат обе части равенства, получим t 2 = (x + ) 2 = x 2 + 2• x • + 1/x 2 , тогда x 2 + 1/x 2 = t 2 – 2, и после преобразований получим квадратное уравнение вида 2(t 2 – 2) + 3t – 16 =0. Решая уравнение по общему виду 2t 2 -4 + 3t -16 = 0, 2t 2 + 3t – 20 = 0, получим корни t₁ = , t₂ = -4. Можно не решать, а сразу же записать ответы предыдущего уравнения.

Ответ: х₁ = , х₂ = -2+, х₃ = -2 – , х₄ = 2.

Учитель: Мы рассмотрели симметрические уравнения, являющиеся частным случаем возвратных уравнений. Следовательно, и ход их решения будет похожим, но более подробно мы познакомимся с возвратными уравнениями и рассмотрим более подробно ход решения на следующем занятии. А сейчас,

я вам предложу домашнее задание на два варианта для самостоятельного решения. Дополнительно даны ответы ко всем уравнениям. Не сможете справиться, рассмотрим на уроке. а кто-то хочет больше решить, с довольствием приветствую вас.

Вариант 1.	Вариант 2.
а) (х 2 – 6х) 2 -2(х – 3) 2 = 81; б) х 3 + х + 2 = 0; в) 6х 4 – 35 х 3 + 62 х 2 – 35х + 6 = 0; г) (х –1)(х+2)(х-3)(х+4) = 144; д) (х 2 + х + 1)(х 2 + х + 2) = 12;	а) (х 2 – 8х) 2 + 3(х – 4) 2 = 76; б) х 3 + 3х 2 + 2х = 0. в) 5х 4 – 12х 3 + 14х 2 – 12х + 5 = 0. г) (х-1)(х-2)(х-3)(х-4) = 15. д) (3х +2) 4 – 13(3х + 2) 2 + 36 = 0.

Выберите ответы, выполняя домашнее задание.

А

В. 1.

С < -2; -1; 0>.

Д < -2; 1>.

Б<0; 1>.

Учитель: Подведем итог нашей темы. Уравнения третьей и четвертой степени решались в общем случае методом замены переменной, в который заключается в том, что для решения уравнения вида f(x) =0 вводят переменную t = g(x) и выражают f(x)через t, получая новое уравнение w(t) = 0. Решая затем уравнение w(t)= 0, находят его корни1, t₂, … t_n>. После чего получают совокупность n – уравнений g(x) = t₁, g(x) = t₂, … g(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.