Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики
Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:
где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.
Произведем подстановку ( 2 ) в ( 1 ) :
Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство ( 3 ) принимает вид:
Выражение ( 4 ) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:
После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя ( 2 ) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:
- значение потенциала как непрерывная функция;
- потенциал должен быть конечной функцией;
- производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.
При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения ( 4 ) будет выражаться для потенциала вида:
Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.
В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.
Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:
E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .
где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.
Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.
Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах
Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.
При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:
1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .
В полярных r , θ :
1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .
В цилиндрических r , υ , z :
1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .
Примеры решения задач
Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .
Решение
Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:
1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .
Решение имеет вид φ = — A ln ( r ) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:
φ ( r 2 ) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно
φ ( r 1 ) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:
A = ∆ U ln r 2 r 1 .
φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .
Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .
Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.
Решение
Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ ( r ) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:
φ 2 = C 2 ln r + C ‘ 2 .
C 1 , C ‘ 1 , C 2 , C ‘ 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 ( 0 ) = 0 . Получим C ‘ 1 = 0 .
Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C ‘ 2 :
C 2 ln R + C ‘ 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .
C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .
Значит, полученные выражения записываются как:
Ответ: потенциал поля равняется:
Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики
Вы будете перенаправлены на Автор24
Решение уравнения Пуассона
В достаточно большом количестве случаев наиболее удобным методом поиска напряженности поля является решение дифференциального уравнения для потенциала. Получим его, используя в качестве основы теорему Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме:
где $\rho $ — плотность распределения заряда, $<\varepsilon >_0$ — электрическая постоянная, $div\overrightarrow
Подставим (2) в (1), получим:
Учитываем, что $divgrad\varphi =<\nabla >^2\varphi =\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial x^2>+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial y^2>+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial z^2>$, где $\triangle =<\nabla >^2$- оператор Лапласа, тогда равенство (3) запишем как:
Уравнение (4) называется уравнением Пуассона (для вакуума) в системе СИ. Если заряды отсутствуют, то уравнение (4) преобразуется в уравнение Лапласа:
После того, как найден потенциал из уравнения Пуассона, обычно вычисляется напряженность по формуле (2). Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять таким требованиям:
- Потенциал должен быть непрерывной функцией.
- Потенциал должен быть конечной функцией.
- Производные от потенциала как функции по координатам должны быть конечными.
Если заряды сосредоточены в объеме V, то решением уравнения (4) будет выражение для потенциала вида:
Итак, общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения (уравнения Пуассона), которое удовлетворяет выше перечисленным требованиям. Нахождение решения — задача весьма сложная. Теоретические решения известны для небольшого количества частных случаев. Если удалось подобрать функцию $\varphi $, которая удовлетворяет всем условиям задачи, то она единственная.
Готовые работы на аналогичную тему
Не всегда есть необходимости задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Например, если необходимо найти электрическое поле в полости, которая окружена проводящей оболочкой, то можно найти поле только для тел внутри самой полости.
Каждое решение уравнения Пуассона в ограниченной области однозначно определяется краевыми условиями, которые накладывают на поведение решения. На границе перехода из одной среды в другую выполняются граничные условия:
где $\sigma $- поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2, $\tau -\ $единичный вектор, касательный к границе.
Данные уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной составляющей вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность не зависимо от формы этой поверхности и наличия и отсутствия зарядов вне ее.
Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах
Уравнение Пуассона может быть записано не только в декартовых координатах, но также в сферических и цилиндрических, полярных.
В сферических координатах ($r,\theta ,\vartheta)$ уравнение Пуассона имеет следующий вид:
В полярных координатах ($r,\theta )$ система координат уравнение имеет вид:
В цилиндрических координатах ($r,\vartheta,z)$ уравнение имеет вид:
Задание: Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами $r_1$ и $r_2$, разность потенциалов между которыми равна $\triangle U=<\varphi >_1-<\varphi >_2.$
Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:
Оно имеет решение $\varphi =-Aln(r)$+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:
$\varphi \left(r_2\right)=0=-Alnr_2+B,$ следовательно
Ответ: Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией $\varphi (r)=-\frac<\triangle U><
Задание: Найти, используя уравнение Пуассона потенциал поля, которое создает бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса R с объемной плотностью заряда $\rho $.
Ось Z направим по оси цилиндра. Так как цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, то потенциал обладает той же симметрией, то есть он является функцией $\varphi \left(r\right),\ $где r — расстояние от оси цилиндра. Поэтому используем цилиндрическую систему координат. Запишем уравнение Пуассона в ней с учетом симметрии:
где $C_1$,$\
Так как поверхностных зарядов нет, то напряженность электрического поля на поверхности шара непрерывна, то есть непрерывна производная от потенциала при r=R. И непрерывен сам потенциал. Эти условия дают два алгебраических уравнения для того, чтобы найти постоянные $C_2$,$\
Следовательно, получаем выражения для потенциалов:
\[<\varphi >_1\left(r\right)=-\frac<1><4>\frac<\rho ><<\varepsilon >_0> r ^ 2 \left(0 Ответ: Потенциал поля равен: $$ \varphi_1 \left(r \right)=-\frac<1><4>\frac<\rho > <\varepsilon_0>r^2 \left (0
http://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/uravnenie_puassona_i_matematicheskaya_postanovka_zadach_elektrostatiki/