Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности
Найти решения дифференциального уравнения: y’ = f(x,y) (1) ,
удовлетворяющие условиям
y(x0) = y0, (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши — задачей Коши.
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения задачи Коши вида y’ = f(x,y) .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Определение . Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y1), (x,y2) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y1) — f(x,y2)| ≤ L|y1 — y2|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.
Теорема . (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y’ = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки (x0, y0)∈D существуют интервал (x0 — λ, x0 + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x0, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.
Решение задачи Коши
Онлайн калькулятор для решения задачи Коши. Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).
Для того чтобы решить задачу Коши необходимо найти общее решение дифференциального уравнения, а потом подставить начальные условия и найти неизвестные коэффициенты С1 и С2.
Данный калькулятор решает задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
В калькулятор вводим дифференциальное уравнение и начальные условия, как указано в примере, нажимаем кнопку «Вычислить», получаем ответ.
Решить задачу коши для обыкновенного дифференциального уравнения
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) – уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
http://allcalc.ru/node/659
http://an-site.ru/kr/ko.htm