Решить задачу коши для системы линейных дифференциальных уравнений

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Применения операционного исчисления

Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами

Пример 1.

Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin &x»’+2x»+5x’=0,\\ &x(0)=-1, \,\, x'(0)=2, \,\, x»(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p)+1,\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)+p-2,\\ &x»'(t) \risingdotseq p^3X(p)-p^2x(0)-px'(0)-x»(0)=p^3X(p)+p^2-2p-0. \end Справа стоит $0$, изображение для него тоже $0$.

Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin p^3X(p)+p^2-2p+2(p^2X(p)+p-2)+5(pX(p)+1)=0. \end И найдем из него неизвестное $X(p)$: \begin X(p)=-\frac. \end Используя теоремы, приемы, таблицы операционного исчисления получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq x(t)=-\displaystyle\frac15-\displaystyle\frac45 e^<-t>\mbox\,2t+\displaystyle\frac35e^<-t>\mbox\,2t. \end

Пример 2.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»-2x’-3x=e^<3t>,\\ x(0)=x'(0)=0. \end

Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin &x(t) \risingdotseq X(p),\\ &x'(t) \risingdotseq pX(p)-x(0)=pX(p),\\ &x»(t) \risingdotseq p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p), \end Справа стоит $e^<3t>$, изображение равно $\displaystyle\frac<1>$.

Запишем операторное уравнение: \begin (p^2-2p-3)X(p)=\frac<1>. \end Находим $X(p)$: \begin X(p)=\frac<1><(p-3)^2(p+1)>. \end Используя, например, вторую теорему разложения, получим оригинал: \begin X(p) \risingdotseq \displaystyle\frac14\,te^<3t>-\displaystyle\frac<1><16>\,e^<3t>+\displaystyle\frac<1><16>\,e^<-t>. \end

Пример 3.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+3x’=\mbox\,2t,\\ x(0)=2, \,\, x'(0)=0. \end

Пример 4.

Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin x»+x’=e^t,\\ x(1)=1, \,\, x'(1)=2. \end Так как начальные условия даны не при $t=0$, сразу применить теорему о дифференцировании оригинала мы не можем. Поставим вспомогательную задачу для функции $y(t)=x(t+1)$: \begin y»+y’=e^,\\ y(0)=1, \,\, y'(0)=2. \end Записываем операторное уравнение \begin (p^2Y(p)-p-2)+(pY(p)-1)=\displaystyle\frac. \end

Решаем полученное уравение: \begin Y(p)=\displaystyle\frac<(p-1)(p^2+p)>+\displaystyle\frac. \end \begin y(t)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t>+(3-e). \end Со сдвигом на $1$ находим решение исходной задачи: \begin x(t)=y(t-1)=\displaystyle\frac12e^+\left(\displaystyle\frac<2>-2\right)e^<-t+1>+(3-e). \end

Решение задачи Коши для систем линейных ДУ

Пример 5.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0. \\ \end \right. \end

Запишем изображения: \begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p). \end \end \begin 8 \risingdotseq \displaystyle\frac<8>

, \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+\displaystyle\frac<8>

, \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac\risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2p+6>\risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end

Пример 6.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’ = 2x+8y, \\ &y’ = x+4y+1, \\ &x(0)=1,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

\begin \begin x(t) \risingdotseq X(p), & x'(t) \risingdotseq p\,X(p)-1, \\ y(t) \risingdotseq Y(p), & y'(t) \risingdotseq p\,Y(p),\\ 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1>

. &\\ \end \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \beginpX(p)-1 &= 2X(p)+8Y(p), \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1>

.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac\risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \begin Y(p)=\displaystyle\frac<2(p-1)>\risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end

Пример 7.

Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \left\ < \begin&x’-2x-4y = \mbox\, t, \\ &y’+x+2y = \mbox\,t, \\ &x(0)=0,\, y(0)=0.\\ \end \right. \end

Операторная система уравнений принимает вид: \begin \left\ < \begin(p-2)X(p)-4Y(p) &= \frac

, \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1>.\\ \end \right. \end

Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin X(p)=\displaystyle\frac<2>

+\displaystyle\frac<4>-\displaystyle\frac<2p+3>\risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox\,t-3\,\mbox\,t. \end \begin Y(p)=-\displaystyle\frac<2>+\displaystyle\frac<2>\risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox\,t. \end

Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля

Введем обозначения:
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.

Запишем алгоритм решения.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin \begin y(t) & \risingdotseq Y(p),\\ y'(t) & \risingdotseq p\,Y(p),\\ y»(t)& \risingdotseq p^2Y(p),\\ &\cdots\\ y^<(n)>(t)& \risingdotseq p^nY(p). \end \end Вспомогательное операторное уравнение запишем в виде: \begin Y(p)\cdot h(p) = \frac<1>

,\\ h(p)=p^n+a_1p^+\ldots+a_n. \end $$Y(p) \risingdotseq y(t).$$

2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin h(p)=\frac<1>. \end Тогда $$ X(p) = F(p)\,pY(p).$$ Для нахождения $x(t)$ необходимо найти оригинал для $pY(p)F(p)$, то есть вычислить интеграл из формулы Дюамеля: $$ p F(p) Y(p) \risingdotseq y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau,$$ где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения.

Пример 8.

Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin x»+2x’=\frac<1><1+e^<2t>>, \,\, x(0)=0, \,\, x'(0)=0. \end Решаем через интеграл Дюамеля в два этапа, как было описано выше.

2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin (p^2+2p)X(p)=F(p). \end Правая часть этого уравнения такая же, как и для вспомогательного. Левую часть $\frac<1><1+e^<2t>>$ обозначим $f(t)$, ее изображение $F(p)$. Тогда \begin X(p)=\frac. \end Решая вспомогательное уравнение, мы находили: \begin (p^2+2p)Y(p)=\frac<1>

\,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1>. \end Тогда \begin X(p)=\frac<\frac<1>>=pF(p)Y(p). \end

Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin X(p)=p F(p) Y(p) \risingdotseq x(t)=y(0)\cdot f(t)+\int\limits_0^t f(\tau)\,y'(t-\tau)\,d\tau, \end где $y(t)$ — уже найденное решение вспомогательного уравнения: \begin \begin & y(t)=-\frac14+\frac12t+\frac14 e^<-2t>,\\ & y(0)=0,\\ & y'(t-\tau)=\frac12-\frac12e^<-2(t-\tau)>. \end \end

Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда

Пример 9

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+x=\eta(t)-\eta(t-2), \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin &x»+x \risingdotseq p^2\,X(p)+X(p),\\ &\eta(t)-\eta(t-2) \risingdotseq \frac<1>

-\frac>

. \end Для правой части, содержащей функцию Хэвисайда, воспользовались теоремой запаздывания.

Находим изображение для $\displaystyle\frac<1>$ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin &\frac<1>\risingdotseq \mbox\,t \,\, \Rightarrow\\ &\frac<1>\risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox\,\tau\,d\tau=-\mbox\,t+1. \end Тогда изображение для $\displaystyle\frac>$ по теореме запаздывания будет равно: \begin \frac>\risingdotseq (-\mbox\,(t-2)+1)\eta(t-2). \end

Решение заданного уравнения: \begin x(t)= (1-\mbox\,t)\eta(t)-(1-\mbox\,(t-2))\eta(t-2). \end

Пример 10

Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin \left\ < \begin&x»+4x=f(t). \\ &x(0)=0,\\ &x'(0)=0. \end \right. \end

Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin &f(t)=2t\eta(t)-4(t-1)\eta(t-1)+2(t-2)\eta(t-2),\\ &F(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Операторное уравнение имеет вид: \begin &X(p)(p^2+4)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2>(1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end

Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin \frac<2>=\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox\,2t. \end Для остальных слагаемых воспользуемся теоремой запаздывания: \begin X(p)\risingdotseq x(t)= \frac12\left(t-\frac12\,\mbox\,2t\right)\eta(t)-\\ -\left((t-1)-\frac12\,\mbox\,2(t-1)\right)\eta(t-1)+\\ +\frac12\left((t-2)-\frac12\,\mbox\,2(t-2)\right)\eta(t-2). \end

Решение задачи Коши с периодической правой частью

Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда.

Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin f_0(t)=\begin f(t),& 0 oplaplace/seminar5_2.txt · Последние изменения: 2021/05/28 18:23 — nvr

Системы дифференциальных уравнений

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями.

Для этого необходимо располагать, вообще говоря, таким же числом уравнений. Если каждое из этих уравнений является дифференциальным, то есть имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений.

1. Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причём в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени.

Линейная система называется нормальной, если она разрешена относительно всех производных

(1)

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Равенства при называются начальными условиями системы дифференциальных уравнений.

Часто начальные условия записывают в виде

Общим решением (интегралом) системы дифференциальных уравнений называется совокупность «n» функций от независимой переменной x и «n» произвольных постоянных C1 , C2 , …,Cn:

(2)

которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.

Чтобы получить частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям , надо из уравнений (2) определить соответствующие начальным условиям значения постоянных C10 , C20 , …,Cn0 .

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения .

Записывается задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений следующим образом

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (1), т. е. функции , (i=1,2,…,n) непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеет в ней непрерывные частные производные .

Тогда каковы бы ни были значения , принадлежащие области D, существует единственное решение системы (1) , удовлетворяющее начальным условиям

.

2. Решение нормальной системы методом исключения.

Для решения нормальной системы дифференциальных уравнений используется метод исключения неизвестных или метод Коши.

Пусть дана нормальная система

Дифференцируем по х первое уравнение системы

Заменяя производные их выражениями из системы уравнений (1), будем иметь

Дифференцируем полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдём

Продолжая далее таким же образом, получим уравнение

Итак, получили систему

(2)

Из первых п-1 уравнений определим y2 , y3 , … , yn , выразив их через

и

(3)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (2), получим уравнения п-го порядка для определения y1 :

(4)

Решив это уравнение, найдём y1

(5)

Дифференцируя последнее выражение п-1 раз, найдём производные

как функции от . Подставляя эти функции в уравнения (4), определим y2 , y3 , … , yn .

Итак, получили общее решение системы (1)

(6)

Чтобы найти частное решение системы (1) удовлетворяющее начальным условиям при

надо найти из уравнения (6) соответствующие значения произвольных постоянных С1 , С2 , … , Сn .

Найти общее решение системы уравнений:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

получаем решение системы:

3. Преобразование дифференциального уравнения порядка п к нормальной системе Коши.

Всякое уравнение п-го порядка

можно привести к системе уравнений первого порядка, если принять

за новые неизвестные функции.

С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Например, отыскание векторных линий поля требует реше­ния системы дифференциальных уравнений. Решение задач динамики криволинейного движения при­водит к системе трех дифференциальных уравнений, в которых неиз­вестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной — время. Позже вы узнаете, что решение задач электротехники для двух электрических цепей, нахо­дящихся в электромагнитной связи, потребует решения системы двух дифференциальных уравнений. Количество подобных примеров легко можно увеличить.