Решите географическую систему уравнений 8 класс

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Презентация к онлайн-уроку «Решение систем уравнений графическим методом» 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем уравнений графическим методом 8 класс

Что называют системой уравнений?

Что называют системой уравнений? Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Что называют решением системы уравнений?

Что называют решением системы уравнений? Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Что называют решением системы уравнений? Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы. Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

Что называют решением системы уравнений? Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы. Какие методы решения систем уравнений вы знаете? — метод подстановки; — метод сложения; — метод введения новых переменных; — графический метод.

Как называется функция? Как называется график? Что определяет положение графика в системе координат? Как построить график? y=kx+b

Как называется функция? Как называется график? Что определяет положение графика в системе координат? Как построить график? y = аx2+bх+с y = а(x-х0)2+у0

Как называется функция? Как называется график? Что определяет положение графика в системе координат? Как построить график? y = + у0 x-х0 k

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом: 1. Выразить переменную y через переменную х;

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом: 1. Выразить переменную y через переменную х; 2. Построить в одной системе координат графики уравнений входящих в систему;

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом: 1. Выразить переменную y через переменную х; 2. Построить в одной системе координат графики уравнений входящих в систему; 3. Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть);

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом: 1. Выразить переменную y через переменную х; 2. Построить в одной системе координат графики уравнений входящих в систему; 3. Определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть); 4. Координаты этих точек и будут решением системы.

4х + 2у = 5 х — у = 2 — выразить переменную y через переменную х

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = 2,5 – 2х у = х – 2 — выразить переменную y через переменную х — построить в одной системе координат графики уравнений входящих в систему

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = 2,5 – 2х у = х – 2 Построим график функции у = 2,5 – 2х х 0 5 у 2,5 -7,5

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = 2,5 – 2х у = х – 2 Построим график функции у = 2,5 – 2х х 0 5 у 2,5 -7,5

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = 2,5 – 2х у = х – 2 Построим график функции у = 2,5 – 2х у = 2,5 – 2х х 0 5 у 2,5 -7,5

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 у = 2,5 – 2х х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 у = 2,5 – 2х х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 у = 2,5 – 2х у = х – 2 х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 — определить координаты всех точек пересечений графиков (если они есть) у = 2,5 – 2х у = х – 2 х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 — координаты этих точек и будут решением системы, выписать ответ у = 2,5 – 2х у = х – 2 х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

у = 2,5 – 2х 4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 — координаты этих точек и будут решением системы, выписать ответ Ответ: (1,5; — 0,5) у = х – 2 х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

у = 2,5 – 2х 4х + 2у = 5 х — у = 2 у = – 2х + 2,5 у = х – 2 Построим график функции у = – 2х + 2,5 Построим график функции у = х – 2 Ответ: (1,5; — 0,5) у = х – 2 х 0 5 у 2,5 -7,5 х 0 2 у — 2 0

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 у = -х2 + 4х + 1 + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 2. Построим график функции у = х2 + 1 График родительской функции у = х2 сдвинут по ОУ на +1 у = -х2 + 4х + 1 + _ + _ + _ + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9 х 0 1 2 3 у 0 1 4 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 2. Построим график функции у = х2 + 1 График родительской функции у = х2 сдвинут по ОУ на +1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 + _ + _ + _ + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9 х 0 1 2 3 у 0 1 4 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 2. Построим график функции у = х2 + 1 График родительской функции у = х2 сдвинут по ОУ на +1 + _ + _ + _ + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 1 4 9 х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9

у + х2 = 4х + 1 х2 = у — 1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 у = -х2 + 4х + 1 у = х2 + 1 Ответ: (0;1), (2;5) 1. Построим график функции у = -х2 + 4х + 1 = -(х-2)2 +5 График родительской функции у = — х2 сдвинут по ОХ на +2 и по ОУ на +5 2. Построим график функции у = х2 + 1 График родительской функции у = х2 сдвинут по ОУ на +1 + _ + _ + _ + _ + _ + _ х 0 1 2 3 у 0 1 4 9 х 0 1 2 3 у 0 — 1 — 4 — 9

Краткое описание документа:

Урок по теме «Решение систем уравнений графическим методом».

Урок требует от дистанционной платформы возможности одновременного диалогового общения с обсуждением материала.

Презентация не анимирована и составлена для работы в виртуальном классе на дистанционном обучении без поддержки анимации.

Время для освоения материала в среднем темпе 20-25 минут.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 682 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 308 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 575 797 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

10.3. Решение систем уравнений первой и второй степени графическим способом

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 27.04.2020
• 364
• 26

• 27.04.2020
• 570
• 32

• 20.04.2020
• 631
• 49

• 20.04.2020
• 1678
• 254

• 20.04.2020
• 545
• 56

• 20.04.2020
• 1260
• 252

• 16.04.2020
• 165
• 13

• 16.04.2020
• 188
• 14

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 01.05.2020 756
• PPTX 580.9 кбайт
• 79 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лаптева Юлия Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 23
• Всего просмотров: 30146
• Всего материалов: 75

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Решение систем уравнений

Содержание:

Графический метод решения систем уравнений

Вспоминаем то, что знаем

Что такое график уравнения с двумя неизвестными?

Что представляет собой график линейного уравнения с двумя неизвестными?

Решите графическим методом систему линейных уравнений:

Открываем новые знания

Решите графическим методом систему уравнений:

Как можно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью графиков уравнений этой системы? Отвечаем, проверяем себя по тексту

В курсе алгебры 7-го класса вы изучали системы линейных уравнений.

Для их решения вы применяли три метода: графический, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Эти же методы служат и для решения других систем двух уравнений с двумя неизвестными, в которых могут содержаться уравнения второй степени или другие рациональные уравнения — как целые, так и дробные.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Начнём с графического метода

Этот метод основан на том, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует некоторое множество точек координатной плоскости (график этого уравнения). Построив графики уравнений, мы найдём точки пересечения этих графиков (если они есть), и пары чисел — координаты точек пересечения — будут представлять собой решения системы уравнений.

Найденные решения будут, вообще говоря, приближёнными, в зависимости от точности построений соответствующих графиков.

Таким образом, решить графически систему уравнений — значит найти общие точки графиков уравнений, входящих в систему.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1:

Решим систему уравнений:

Построим графики уравнений

Графиком первого уравнения является парабола, с вершиной в точке (0; 1) и ветвями, направленными вверх, графиком второго — прямая, проходящая через точки (0; 3) и (-3; 0).

Парабола и прямая пересекаются в точках А(2; 5) и В(— 1; 2).

Проверкой убеждаемся, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы.

Ответ: (2; 5) и (-1; 2).

Пример 2:

Выясним количество решений системы уравнений:

Построим графики уравнений

Графики этих уравнений — окружности. Центр первой окружности — начало координат, а её радиус равен 2; центр второй окружности — точка Р(1; — 1), её радиус равен 3.

Окружности пересекаются в двух точках М и N, координаты которых можно найти приближённо. Поскольку нам нужно определить только количество решений, мы делать этого не будем.

Ответ: Два решения.

Решение систем уравнений методом подстановки

Вспоминаем то, что знаем

Расскажите, как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом подстановки.

Решите систему линейных уравнений методом подстановки:

Открываем новые знания

Как вы думаете, можно ли применять метод подстановки при решении систем, где не все уравнения являются линейными? При каком условии это удастся сделать?

Решите систему уравнений методом подстановки:

Как решить систему двух уравнений с двумя неизвестными методом подстановки?

Всякую ли систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить методом подстановки?

Ранее вы решали системы уравнений первой степени.

Теперь познакомимся с системами, в которых хотя бы одно уравнение не является линейным. Как и прежде, распространённым методом решения систем является метод подстановки.

Пример 3:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим х из уравнения

Подставим найденное выражение в первое уравнение:

Решим полученное уравнение:

Убедиться, что найденные пары чисел действительно являются решениями системы, можно подстановкой.

Чуть сложнее дело обстоит в следующем примере.

Пример 4:

Решим систему уравнений:

Пусть (х; у) — решение системы.

Выразим у из линейного уравнения:

Подставим найденное выражение в первое уравнение системы:

После преобразований получим:

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Если это целесообразно, то можно осуществлять подстановку некоторого выражения «в целом».

Пример 5:

Подставим во второе уравнение тогда его можно переписать в виде:

Теперь выразим х через у из первого уравнения системы:

Подставим в полученное ранее уравнение ху = 2:

Корни этого уравнения:

.

Иногда решить систему можно, используя метод алгебраического сложения.

Пример 6:

Сложим уравнения, предварительно умножив первое уравнение на —1. В результате получим:

.

Корни этого уравнения:

Подставим найденные значения в первое уравнение. Рассмотрим два случая:

1)

2) , получим уравнение корней нет.

Иногда упростить решение удаётся, используя различные варианты замены неизвестных.

Пример 7:

Решим систему уравнений:

Обозначим

Второе уравнение системы примет вид:

Решим полученное уравнение. Получим, умножая обе части на 2а:

Осталось решить методом подстановки линейные системы:

Ответ: (2; 1), (1; 2). Решение задач с помощью систем уравнений Знакомимся с новыми знаниями

Напомним, что при решении задач обычно действуют следующим образом:

1) обозначают буквами какие-нибудь неизвестные величины, выражают через них другие величины, составляют систему уравнений;

2) решают полученную систему;

3) отвечают на вопрос задачи.

Пример 8:

Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см — длина, у см — ширина (х у), тогда периметр прямоугольника — см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Решим систему. Выразим из первого уравнения у:

Подставим во второе уравнение:

Корни уравнения:

Найдём

С учётом условия получим ответ: длина — 12 см, ширина — 5 см.

Пример 9:

Если произведение двух положительных чисел увеличить на первое из них, то получится 128. Если это же произведение увеличить на второе из них то получится 135. Найдите эти числа.

Пусть х — первое число, у — второе число.

Тогда: — произведение, увеличенное на первое число, ху 4-у — произведение, увеличенное на второе число.

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

Дальше будем решать методом подстановки:

Подставим в первое уравнение выражение для у:

Корни уравнения: (не подходит по смыслу задачи).

Найдём у из уравнения:

Получим ответ: 16 и 7.

Симметричные системы уравнений с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными называется симметричным, если при перестановке этих неизвестных местами уравнение не меняется. Например, уравнение симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть не меняется. А вот уравнение не симметричное, так как при перестановке входящих в него неизвестных оно приобретает вид , то есть меняется.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется симметричной, если каждое уравнение этой системы симметричное.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. В определении симметричной системы уравнений требуется, чтобы каждое уравнение в отдельности не менялось.

Например, если в системе уравнений

переставить местами неизвестные х и у, то получим систему:

Видно, что система в целом не изменилась (уравнения поменялись местами по сравнению с первоначальной системой). Но такая система не является симметричной, так как каждое из уравнений в отдельности изменилось.

Убедитесь, что симметричные системы с двумя неизвестными х и у можно решать с помощью замены неизвестных:

Сначала научитесь выражать через неизвестные выражения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.