Решите графически уравнение cos x

Функция y = cos x, её свойства и график

п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=cosx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривая продолжится вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x косинусоидой .
Часть косинусоиды для –π≤x≤π называют волной косинусоиды .
Часть косинусоиды для \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\) называют полуволной или аркой косинусоиды .

Заметим, что термин «косинусоида» используется достаточно редко. Обычно, и в случае косинуса, говорят о «синусоиде».

п.2. Свойства функции y=cosx⁡

1. Область определения \(x\in\mathbb\) — множество действительных чисел.

2. Функция ограничена сверху и снизу $$ -1\leq cosx\leq 1 $$ Область значений \(y\in[-1;1]\)

3. Функция чётная $$ cos(-x)=cosx $$

4. Функция периодическая с периодом 2π $$ cos(x+2\pi k)=cosx $$

5. Максимальные значения \(y_=1\) достигаются в точках $$ x=2\pi k $$ Минимальные значения \(y_=-1\) достигаются в точках $$ x=\pi+2\pi k $$ Нули функции \(y_<0>=cosx_0=0\) достигаются в точках \(x=\frac\pi2 +\pi k\)

6. Функция возрастает на отрезках $$ -\pi+2\pi k\leq x\leq 2\pi k $$ Функция убывает на отрезках $$ 2\pi k\leq x\leq\pi+2\pi k $$

7. Функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cosx на отрезке:

a) \(\left[\frac\pi6; \frac<3\pi><4>\right]\) $$ y_=cos\left(\frac<3\pi><4>\right)=-\frac<\sqrt<2>><2>,\ \ y_=cos\left(\frac\pi6\right)=\frac<\sqrt<3>> <2>$$ б) \(\left[\frac<5\pi><6>; \frac<5\pi><3>\right]\) $$ y_=cos(\pi)=-1,\ \ y_=cos\left(\frac<5\pi><3>\right)=\frac12 $$

Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(cosx=\frac\pi2-x\)

Один корень: \(x=\frac\pi2\)

б) \(cosx-x=1\)
\(cosx=x+1\)

Один корень: x = 0

в) \(cosx-x^2=1\)
\(cosx=x^2+1\)

Один корень: x = 0

г*) \(cosx-x^2+\frac<\pi^2><4>=0\)
\(cosx=x^2-\frac<\pi^2><4>\)
\(y=x^2-\frac<\pi^2><4>\) – парабола ветками вверх, с осью симметрии \(x_0=0\) (ось OY) и вершиной \(\left(0; -\frac<\pi^2><4>\right)\) (см. §29 справочника для 8 класса)

Два корня: \(x_<1,2>=\pm\frac\pi2\)

Пример 3. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=-cosx,\ \ y=2cosx,\ \ y=cosx-2 $$

\(y=-cosx\) – отражение исходной функции \(y=cosx\) относительно оси OX. Область значений \(y\in[-1;1]\).
\(y=2cosx\) – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY. Область значений \(y\in[-2;2]\).
\(y=cosx-2\) — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений \(y\in[-3;-1]\).

Пример 4. Постройте в одной системе координат графики функций $$ y=cosx,\ \ y=cos2x,\ \ y=cos\frac <2>$$

Амплитуда колебаний у всех трёх функций одинакова, область значений \(y\in[-1;1]\).
Множитель под косинусом изменяет период колебаний.
\(y=cosx\) – главная арка косинуса соответствует отрезку \(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2\)
\(y=cos2x\) — период уменьшается в 2 раза, главная арка укладывается в отрезок \(-\frac\pi4\leq x\leq\frac\pi4\).
\(y=cos\frac<2>\) — период увеличивается в 2 раза, главная арка растягивается в отрезок \(-\pi \leq x\leq \pi\).

Решите графически уравнение cos x

Вопрос по алгебре:

Решите графически уравнение : cos x=x-п/2

Пожалуйста с рисунком

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Y=cos(x) — тригонометрическая функция, график — косинусоида.
— линейная функция, график — прямая, строим по двум точкам. Графики в фотке, пересекаются в точке , ответ — абсцисса.
Ответ:

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

«Свойство функций y = cos x и её график»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Изучить функцию y = cos x

1. Изучить свойства функции у = cos x.

2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график.

3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала.

4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Функция y=cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1]. Значит, график этой функции расположен в между прямыми y=−1 и y=1. Так как функция y=cos x периодическая с периодом 2 π , то достаточно построить график на каком-нибудь промежутке длиной 2 π , на отрезке − π≤ x≤ π , тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2 πn , n ∈ Z, график будет таким же. Функция y=cos x является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика на отрезке − π≤ x≤ π достаточно построить его для 0≤x≤ π , а затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

Рассмотрим, как изменяется косинус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤ x ≤ 2π и построим график y =cos x на отрезке.

Свойства функции y=cos x

1.Функция чётная cos (−x) = cos x

2. Функция периодическая с периодом 2 π cos (x+2 π k) = cos x

3. Максимальные значения y max=1 достигаются в точках x =2 π k Минимальные значения y min=−1 достигаются в точках x= π +2 π k Нули функции y0=cos x0=0 достигаются в точках x= π 2+ π k

4. Функция y=cos x принимает:

— значение, равное 0, при x= π 2+ πn , n ∈ Z;

— наименьшее значение, равное −1, при x= π +2 πn , n ∈ Z;

— положительные значения на интервале (− π 2; π 2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2 πn , n ∈ Z;

5.Область определения x ∈ R — множество действительных чисел.

6. Функция ограничена сверху и снизу −1≤cosx≤1 Область значений y ∈ [−1;1]

7. Функция возрастает на отрезках − π +2 π k≤x≤2 π k Функция убывает на отрезках 2 π k ≤ x≤ π +2 π k

8. Функция непрерывна.

Примеры

Пример 1 . Постройте в одной системе координат графики функций y=cos x, y=−cos x, y=2cosx, y=cosx−2

y=−cos x – отражение исходной функции y=cos x относительно оси OX . Область значений y ∈ [−1;1].
y=2cosx – исходная функция растягивается в 2 раза по оси OY . Область значений y ∈ [−2;2].
y=cosx−2 — исходная функция опускается вниз на 2. Область значений y ∈ [−3;−1].

Пример 2 . Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y =cos x на отрезке:
[ π 6;3 π 4]ymin=cos(3 π 4)=−22, ymax=cos( π 6)=32б) [5 π 6;5 π 3]ymin=cos( π )=−1, ymax=cos(5 π 3)=12

Пример 3 . Решите уравнение графически : a) cos x= π 2 − x
Один корень : x= π 2