Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом
Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте « Как запомнить тригонометрический круг »).
Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом
Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tgx=\sqrt<3>\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=\sqrt<3>\).
Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…
…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.
Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.
Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…
…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac<π><3>+πn\), \(n∈Z\).
Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом , здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\).
Пример. Решить уравнение \(tgx=-1\).
Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:
Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.
Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.
Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом
Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.
Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac<1><\sqrt<3>>\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.
Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…
…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…
…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).
Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt<3>\), котангенс будет \(\frac<1><\sqrt<3>>\).
Разберем еще пример, а потом подведем итог.
Пример. Решить уравнение \(ctgx=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.
Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:
Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.
Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.
Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.
Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.
Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.
Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Знак умножения нужно вводить только между числами, во всех остальных случаях его можно не вводить.
| Функция | Описание | Пример ввода | Результат ввода |
|---|---|---|---|
| pi | Число \(\pi\) | pi | $$ \pi $$ |
| e | Число \(e\) | e | $$ e $$ |
| e^x | Степень числа \(e\) | e^(2x) | $$ e^ <2x>$$ |
| exp(x) | Степень числа \(e\) | exp(1/3) | $$ \sqrt[3] |
| |x| abs(x) | Модуль (абсолютное значение) числа \(x\) | |x-1| abs(cos(x)) | \( |x-1| \) \( |\cos(x)| \) |
| sin(x) | Синус | sin(x-1) | $$ sin(x-1) $$ |
| cos(x) | Косинус | 1/(cos(x))^2 | $$ \frac<1> |
| tg(x) | Тангенс | x*tg(x) | $$ x \cdot tg(x) $$ |
| ctg(x) | Котангенс | 3ctg(1/x) | $$ 3 ctg \left( \frac<1> |
| arcsin(x) | Арксинус | arcsin(x) | $$ arcsin(x) $$ |
| arccos(x) | Арккосинус | arccos(x) | $$ arccos(x) $$ |
| arctg(x) | Арктангенс | arctg(x) | $$ arctg(x) $$ |
| arcctg(x) | Арккотангенс | arcctg(x) | $$ arcctg(x) $$ |
| sqrt(x) | Квадратный корень | sqrt(1/x) | $$ \sqrt<\frac<1> |
| root(n,x) | Корень степени n root(2,x) эквивалентно sqrt(x) | root(4,exp(x)) | $$ \sqrt[4] < e^ |
| x^(1/n) | Корень степени n x^(1/2) эквивалентно sqrt(x) | (cos(x))^(1/3) | $$ \sqrt[\Large 3 \normalsize] |
| ln(x) log(x) log(e,x) | Натуральный логарифм (основание — число e ) | 1/ln(3-x) | $$ \frac<1> |
| log(10,x) | Десятичный логарифм числа x | log(10,x^2+x) | $$ log_<10>(x^2+x) $$ |
| log(a,x) | Логарифм x по основанию a | log(3,cos(x)) | $$ log_3(cos(x)) $$ |
| sh(x) | Гиперболический синус | sh(x-1) | $$ sh(x-1) $$ |
| ch(x) | Гиперболический косинус | ch(x) | $$ ch(x) $$ |
| th(x) | Гиперболический тангенс | th(x) | $$ th(x) $$ |
| cth(x) | Гиперболический котангенс | cth(x) | $$ cth(x) $$ |
Почему решение на английском языке?
При решении этой задачи используется большой и дорогой модуль одного «забугорного» сервиса. Решение он выдает в виде изображения и только на английском языке. Изменить это, к сожалению, нельзя. Ничего лучше мы найти не смогли. Зато он выводит подробное и очень качественное решение в том виде в котором оно принято в высших учебных заведениях. Единственное неудобство — на английском языке, но это не большая цена за качество.
Некоторые пояснения по выводу решения.
| Вывод | Перевод, пояснение |
|---|---|
| Solve for x over the real numbers | Решить относительно х в действительных числах (бывают ещё комплексные) |
| Multiply both sides by . | Умножаем обе части на . |
| Simplify and substitute . | Упрощаем и делаем подстановку . |
| Simplify trigonometric functions | Упрощаем тригонометрические функции |
| Bring . together using the commom denominator . | Приводим . к общему знаменателю . |
| The left hand side factors into a product with two terms | Левая часть разбивается на множители как два многочлена |
| Split into two equations | Разделяем на два уравнения |
| Take the square root of both sides | Извлекаем квадратный корень из обоих частей |
| Subtract . from both sides | Вычитаем . из обеих частей уравнения |
| Add . to both sides | Прибавляем . к обоим частям уравнения |
| Multiply both sides by . | Умножаем обе части уравнения на . |
| Divide both sides by . | Делим обе части уравнения на . |
| Substitute . Then . | Делаем подстановку . Тогда . |
| Substitute back for . | Обратная подстановка для . |
| . has no solution since for all . | . не имеет решения для всех . |
| Take the inverse sine of both sides | Извлекаем обратный синус (арксинус) из обоих частей |
| Simplify the expression | Упрощаем выражение |
| Answer | Ответ |
| \(log(x)\) | Натуральный логарифм, основание — число e. У нас пишут \(ln(x)\) |
| \(arccos(x)\) или \(cos^<-1>(x)\) | Арккосинус. У нас пишут \( arccos(x) \) |
| \(arcsin(x)\) или \(sin^<-1>(x)\) | Арксинус. У нас пишут \( arcsin(x) \) |
| \(tan(x)\) | Тангенс. У нас пишут \(tg(x) = \frac |
| \(arctan(x)\) или \(tan^<-1>(x)\) | Арктангенс. У нас пишут \(arctg(x)\) |
| \(cot(x)\) | Котангенс. У нас пишут \(ctg(x) = \frac |
| \(arccot(x)\) или \(cot^<-1>(x)\) | Арккотангенс. У нас пишут \(arcctg(x)\) |
| \(sec(x)\) | Секанс. У нас пишут также \(sec(x) = \frac<1> |
| \(csc(x)\) | Косеканс. У нас пишут \(cosec(x) = \frac<1> |
| \(cosh(x)\) | Гиперболический косинус. У нас пишут \(ch(x) = \frac |
| \(sinh(x)\) | Гиперболический синус. У нас пишут \(sh(x) = \frac |
| \(tanh(x)\) | Гиперболический тангенс. У нас пишут \(th(x) = \frac |
| \(coth(x)\) | Гиперболический котангенс. У нас пишут \(cth(x) = \frac<1> |
Если вам что-то осталось не понятно обязательно напишите об этом в Обратной связи и мы дополним эту таблицу.
Функция y = ctg x, её свойства и график
п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.
Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x главной ветвью графика котангенса.
п.2. Свойства функции y=ctgx
1. Область определения \(x\ne\pi k\) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых \(sinx=0\) .
2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений \(y\in\mathbb
3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$
4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+\pi k)=ctgx $$
5. Функция стремится к \(-\infty\) при приближении слева к точкам \(x=\pi k\) .
Приближение к точке a слева записывается как \(x\rightarrow a-0\) $$ \lim_
Приближение к точке a справа записывается как \(x\rightarrow a+0\) $$ \lim_
6. Функция убывает на всей области определения.
7. Функция имеет разрывы в точках \(x=\pi k\) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами \((\pi k;\ \pi+\pi k)\) функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:
a) \(\left[\frac<2\pi><3>; \pi\right)\) $$ y_
Пример 2. Решите уравнение:
a) \(ctgx=-\sqrt<3>\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<5\pi><6>+\pi k,\ k\in\mathbb
б) \(ctg\left(x+\frac\pi2\right)=0\)
\(x+\frac\pi2=\frac\pi2+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\pi k,\ k\in\mathbb
в) \(ctg(2x)=1\)
\(2x=\frac\pi4+\pi k\)
Бесконечное множество решений: \(x=\frac<\pi><8>+\frac<\pi k><2>,\ k\in\mathbb
Пример 3. Постройте графики функций: a) \(y(x)=x^2-2tgx\cdot ctgx\)
 | Произведение \(tgx\cdot ctgx=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) и \(ctgx\) имеют разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac<\pi k><2>\). |
Получаем: $$ \begin 
 | Сумма \(sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1\). При этом ограничивается область определения функции \(y(x)\), т.к. \(tgx\) имеeт разрывы. Точки разрыва отмечены на числовой окружности: \(x\ne\frac<\pi><2>+\pi k\). |
Получаем: $$ \begin 
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality-info
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/funkcziya-y-ctgx-svojstva-i-grafik/