Решите графически уравнение и неравенства

Решение квадратных неравенств графически

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y = f ( x ) и y = g ( x ) , их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

• решениями неравенства f ( x ) > g ( x ) являются интервалы, где график функции f выше графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) ≥ g ( x ) являются интервалы, где график функции f не ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) g ( x ) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f ( x ) ≤ g ( x ) являются интервалы, где график функции f не выше графика функции g ;
• абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f ( x ) = g ( x ) .

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c 0 ( ≤ , > , ≥ ) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать y = a · x 2 + b · x + c (при этом f ( x ) = a · x 2 + b · x + c ) , а правая y = 0 (при этом g ( x ) = 0 ).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс О х . Проанализируем положение параболы относительно оси О х . Для этого выполним схематический рисунок.

Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось О х в точках x 1 и x 2 . Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c . Корни трехчлена мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 x 2 , так как на оси О х изобразили точку с абсциссой x 1 левее точки с абсциссой x 2 .

Части параболы, расположенные выше оси О х обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки ( − ∞ , x 1 ) и ( x 2 , + ∞ ) , на них парабола выше оси О х . Они являются решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 . Синим мы отметили промежуток ( x 1 , x 2 ) , который является решением неравенства a · x 2 + b · x + c 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Сделаем краткую запись решения. При a > 0 и D = b 2 − 4 · a · c > 0 (или D ‘ = D 4 > 0 при четном коэффициенте b ) мы получаем:

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , + ∞ ) или в другой записи x x 1 , x > x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является ( − ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞ ) или в другой записи x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c 0 является ( x 1 , x 2 ) или в другой записи x 1 x x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≤ 0 является [ x 1 , x 2 ] или в другой записи x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c , причем x 1 x 2 .

Решение с одним корнем у квадратного трехчлена

На данном рисунке парабола касается оси O х только в одной точке, которая обозначена как x 0 . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . D = 0 , следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x 0 .

Парабола расположена выше оси O х полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки ( − ∞ , x 0 ) , ( x 0 , ∞ ) .

Запишем результаты. При a > 0 и D = 0 :

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является ( − ∞ , x 0 ) ∪ ( x 0 , + ∞ ) или в другой записи x ≠ x 0 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является ( − ∞ , + ∞ ) или в другой записи x ∈ R ;
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c 0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси O x );
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c ≤ 0 имеет единственное решение x = x 0 (его дает точка касания),

где x 0 — корень квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Решение квадратного трехчлена, не имеющего корней

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси O x . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D 0 .

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a > 0 и D 0 решением квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c > 0 и a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a · x 2 + b · x + c 0 и a · x 2 + b · x + c ≤ 0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на − 1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х 2 .

Алгоритм решения неравенств с использованием графического способа

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая O х и парабола, которая отвечает квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c . Ось O у мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

• направление ветвей, которое определяется значением коэффициента a ;
• наличие точек пересечения параболы и оси абсцисс, которые определяются значением дискриминанта квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси O х . Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

Необходимо решить неравенство 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 графическим способом.

Решение

Нарисуем график квадратичной функции y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 . Коэффициент при x 2 положительный, так как равен 2 . Это значит, что ветви параболы будут направлены вверх.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x — 2 для того, чтобы выяснить, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Получаем:

D = 5 1 3 2 — 4 · 2 · ( — 2 ) = 400 9

Как видим, D больше нуля, следовательно, у нас есть две точки пересечения: x 1 = — 5 1 3 — 400 9 2 · 2 и x 2 = — 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , то есть, x 1 = − 3 и x 2 = 1 3 .

Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

Наше неравенство имеет знак ≤ . Следовательно, нам нужно выделить промежутки на графике, на которых парабола расположена ниже оси O x и добавить к ним точки пересечения.

Нужный нам интервал − 3 , 1 3 . Добавляем к нему точки пересечения и получаем числовой отрезок − 3 , 1 3 . Это и есть решение нашей задачи. Записать ответ можно в виде двойного неравенства: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Ответ: − 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Решите квадратное неравенство − x 2 + 16 · x − 63 0 графическим методом.

Решение

Квадрат переменной имеет отрицательный числовой коэффициент, поэтому ветви параболы будут направлены вниз. Вычислим четвертую часть дискриминанта D ‘ = 8 2 − ( − 1 ) · ( − 63 ) = 64 − 63 = 1 . Такой результат подсказывает нам, что точек пересечения будет две.

Вычислим корни квадратного трехчлена: x 1 = — 8 + 1 — 1 и x 2 = — 8 — 1 — 1 , x 1 = 7 и x 2 = 9 .

Получается, что парабола пересекает ось абсцисс в точках 7 и 9 . Отметим эти точки на графике пустыми, так как мы работаем со строгим неравенством. После этого нарисуем параболу, которая пересекает ось O х в отмеченных точках.

Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси O х . Отметим эти интервалы синим цветом.

Получаем ответ: решением неравенства являются промежутки ( − ∞ , 7 ) , ( 9 , + ∞ ) .

Ответ: ( − ∞ , 7 ) ∪ ( 9 , + ∞ ) или в другой записи x 7 , x > 9 .

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Решите квадратное неравенство 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 ≤ 0 графическим методом.

Решение

Ветви параболы в данном случае будут направлены вверх. Она будет касаться оси O х в точке 0 , 7 , так как

Построим график функции y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0 , 7 , так как D ‘ = ( − 7 ) 2 − 10 · 4 , 9 = 0 , откуда x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Поставим точку и нарисуем параболу.

Мы решаем нестрогое неравенство со знаком ≤ . Следовательно. Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси абсцисс и точка касания. На рисунке нет интервалов, которые удовлетворяли бы нашим условиям. Есть лишь точка касания 0 , 7 . Это и есть искомое решение.

Ответ: Неравенство имеет только одно решение 0 , 7 .

Решите квадратное неравенство – x 2 + 8 · x − 16 0 .

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант равен нулю. Точка пересечения x 0 = 4 .

Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

Мы имеем дело со строгим неравенством. Следовательно, нас интересуют интервалы, на которых парабола расположена ниже оси O х . Отметим их синим.

Точка с абсциссой 4 не является решением, так как в ней парабола не расположена ниже оси O x . Следовательно, мы получаем два интервала ( − ∞ , 4 ) , ( 4 , + ∞ ) .

Ответ: ( − ∞ , 4 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) или в другой записи x ≠ 4 .

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Решите квадратное неравенство 3 · x 2 + 1 > 0 графическим способом.

Решение

Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью O х нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем со строгим неравенством, которое имеет знак > . Это значит, что нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это как раз тот случай, когда ответом является множество всех действительный чисел.

Ответ: ( − ∞ , + ∞ ) или так x ∈ R .

Необходимо найти решение неравенства − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0 графическим способом.

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем с нестрогим неравенством со знаком ≥ , следовательно, интерес для нас представляют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Судя по графику, таких промежутков нет. Это значит, что данное у условии задачи неравенство не имеет решений.

Графическое решение уравнений, неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Графическое решение уравнений, неравенств». Преподаватель на занятии разберет графические методы решения уравнений и неравенств. Научит строить графики, анализировать их и получать решения уравнений и неравенств. На уроке также будут разобраны конкретные примеры по этой теме.

Графическое решение неравенств

Приближённое решение неравенств.

Графическое решение неравенств с одним неизвестным.

Графическое решение систем неравенств с двумя неизвестными.

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным, необходимо перенести все его члены в одну часть, т. e . привести к виду:

и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой:

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т. e . привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , . , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т. e . их общую часть.

П р и м е р . Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е . Сначала построим графики функций y = — 2 / 3 x + 2 и

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x — 1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т. e . привести

нера венства к виду:

2) построить графики функций, заданных неявно: f ( x , y ) = 0 и g ( x , y ) = 0;

3) каждый их этих графиков делит координатную плоскость на две части:

в одной из них неравенство справедливо, в другой – нет; чтобы решить

графически каждое из этих неравенств, достаточно проверить

справедливость неравенства в одной произвольной точке внутри любой

части плоскости; если неравенство имеет место в этой точке, значит

эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то

решением является противоположная часть плоскости ;

4) решением заданной системы неравенств является пересечение

(общая область) частей координатной плоскости.

П р и м е р . Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е . Сначала строим графики линейных функций: 5 x – 7 y = — 11 и

2 x + 3 y = 10 ( рис.32 ). Для каждой из них находим полуплоскость,

внутри которой соответствующее заданное неравенство

справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить справедливость

неравенства в одной произвольной точке области; в данном

случае легче всего использовать для этого начало координат O ( 0, 0 ).

Подставляя его координаты в наши неравенства вместо x и y ,

получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 > — 11, следовательно, нижняя

полуплоскость ( жёлтого цвета ) является решением первого

неравенства; 2 · 0 + 3 · 0 = 0 неравенство

имеет своим решением также нижнюю полуплоскость ( голубого

цвета ). Пересечение этих полуплоскостей ( область цвета бирюзы )

является решением нашей системы неравенств.