Решите квадратное уравнение ax2 bx c 0

Решение квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0.

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1) Вычисляется дискриминант по формуле D = b 2 — 4ac

2) Если дискриминант меньше 0 (D 0), то квадратное уравнение имеет два корня.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор решения любого квадратного уравнения. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить дискриминант уравнения и его корни.

Решите квадратное уравнение ax2 bx c 0

Формулы корней квадратных уравнений

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 + bx + c методом выделения полного квадрата.

Обычно выражение b 2 — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 .

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к этому виду, удобному для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Решение: a = 2, b = 4, c = 7

D = 4 * 4 — 4 * 2 * 7 = 16 — 56 = — 40

Так как D , то действительных корней нет.

2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится п о формуле:

и это единственный корень уравнения.

4x 2 — 20x + 25 = 0

Решение: a = 4, b = -20, c = 25

D = (-20)* (-20) — 4 * 4 * 25 = 400 — 400 = 0

Так как D = 0 , то данное уравнение имеет один корень:

3. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня:

3x 2 + 8x — 11 = 0

Решение: a = 3, b = 8, c = -11

D = (-8)* (-8) — 4 * 3 * (-11) = 64 + 132 = 196

Так как D > 0 , то имеются два корня уравнения:

8.2.2. Решение полных квадратных уравнений

I. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида

Дискриминант D=b 2 — 4ac.

Если D>0, то имеем два действительных корня:

Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

Если D 2 +5x-3=0.

Решение. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2 — 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.

Пример 2) 4x 2 +21x+5=0.

Решение. a=4; b=21; c=5.

D=b 2 — 4ac=21 2 — 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 действительных корня.

II. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

коэффициенте b

Пример 3) 3x 2 -10x+3=0.

Решение. a=3; b=-10 ( четное число ); c=3.

Пример 4) 5x 2 -14x-3=0.

Решение. a=5; b= -14 ( четное число ); c=-3.

Пример 5) 71x 2 +144x+4=0.

Решение. a=71; b=144 ( четное число ); c=4.

Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.

Решение. a=9; b=-30 ( четное число ); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a-b+c=0.

Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

Пример 7) 2x 2 +9x+7=0.

Решение. a=2; b=9; c=7. Проверим равенство: a-b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=-1, x₂=-c/a=-7/2=-3,5. Ответ: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a+b+c=0.

Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

Пример 8 ) 2x 2 -9x+7=0.

Решение. a=2; b=-9; c=7. Проверим равенство: a+b+c=0. Получаем: 2-9+7=0.

Тогда x₁=1, x₂=c/a=7/2=3,5. Ответ: 1; 3,5.