Решите рациональные уравнения квадратные уравнения 8 класс

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.

Серия уроков по теме: «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение квадратных и дробно-рацио нальных уравнений, содержащих парамет­ ры — один из труднейших разделов школь­ ного курса математики. Здесь, кроме ис­ пользования определенных алгоритмов ре­ шения уравнений, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить много тонкостей. Квадратные и дробо-рациональные уравне­ ния с параметрами — это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала. Обу чать этому надо всех учащихся, и особен­ но этой темой надо заниматься с сильными учениками, ведь задачи с параметрами д ают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Наряду с такими традиционными содер­ жательно-методическими линиями школь­ ного курса математики как функциональ­ ная, числовая, геометрическая, линия урав­ нения и линия тождественных преобразо­ваний должна занять определенное место и линия параметров. В этой работе предлагается серия уроков на тему «Решение квадратных и дробно-рацио­ нальных уравнений, содержащих параметры». Все упражнения подобраны так, чтобы облег­ чить учащимся изучение этой непростой темы.

Блок уроков завершается контрольной работой, которая позволит проверить уро­ вень усвоения материала. Предлагается также подборка упражнений, которые мож­но включить в домашнюю контрольную ра­ боту или просто использовать на уроках как дополнительный материал.

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

формировать умение решать квадратные уравнения с пара­ метрами;

развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.

Учитель. Сегодня мы будем учиться решать квадратные уравнения, содержащие параметр, но предварительно от­ ветьте мне на следующий вопрос.

Сколько корней имеет уравнение:

D = 4 — 4 • 3 • (- 1) = 16, два корня;

б) 7 x 2 — 4х + 1 = 0,

D =16-4-7-1 действительных корней нет;

в) 16 x 2 — 8х + 1 = 0,

D = 64 — 64 = 0, один корень.

Пример 1 . Линейным или квадратным является урав­ нение 56( b — 2)х 2 + (5 b — 2)х — 16 = 0 относительно х при:

а) b = 1; 6) b = 2; в) b = 0,4; г) b = О?

а) 6 = 1; 5 x 2 + 3 x -16 = 0- квадратное уравнение;

б) 6 = 2; 0 • х 2 + 8х — 16 = 0, 8 x — 16 = 0 – линейное уравнение;

в) 6 — 0,4; 2 • (- 1,6) x 2 + 0 • х — 16 = 0, — 3,8 x 2 — 16 = 0 — неполное квадратное уравнение;

г) 6 = 0; 0 • х 2 — 2х — 16 = 0, — 2х — 16 = 0 – линейное уравнение.

Пример 2 . При каких значениях параметра а уравне­ ние ах(ах + 3) + 6 = х(ах — 6) является:

а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?

ах(ах + 3) + 6 = x (а x — 6),

а 2 x 2 + За x + 6 = а x 2 — 6х,

x 2 (а 2 — а) + Зх(а + 2) + 6 = 0.

а) Уравнение является полным квадратным, если

если а Є (-∞ _; — 2) U (- 2; 0) U (0; 1) U (1; + ∞), то исход­ ное уравнение является квадратным.

б) Уравнение является неполным квадратным, если

если а = — 2, то исходное уравнение является неполным квадратным.

в) Уравнение является линейным, если

если а = 0 или а = 1, то исходное уравнение является линейным.

Пример 3 . При каких значениях параметра b уравне­ ние bx 2 — b х + b = 0:

а) имеет корни; б) не имеет корней?

D = b 2 – 4 b • b , О = — 3 b 2 .

а) -3 b 2 ≥ 0 | : (- 3) | b 2 ≤ 0, но b 2 ≥ 0, следовательно, b = 0; если 6 = 0, то уравнение корни имеет.

б) — 3 b 2 b 2 > 0 — при любых значениях b , кроме 0; если b Є (-∞ _; 0) U (0; + ∞), то исходное уравне ние корней не имеет.

Пример 4. Зная, что п Є N , выясните, имеет ли урав­ нение (х + п) 2 — (х- n ) 2 = 56 целые корни, и если имеет, то при каких n ?

2 n 2х = 56, х = 14/ n ; n = 2; n = 7; n = 1; n = 14.

Линейным или квадратным является уравнение b ( b — 5)х + (6 b — 3)х — 18 = 0 относительно х при: а) b = 6; б) b = 0; в) b = 0,5; г) b =5

Линейным или квадратным является уравнение а(а + 3)х + (4а — 20) x + 7 = 0 относительно х при: а) а = — 4; б) а = 0; в) а=5; г)а=-3?

1. Дано уравнение с параметром ах=3а+8. Напишите уравнение, которое получается при:

а) а=10; б) а=-2; в) а=0,25; г) а=0

2. Выясните вид уравнения 2ах(х-1) + х(ах-12) = 3х+8 относительно х при::

а) а=1; б) а=-6; в) а=-2; г) а=0

1. а) 10х=38; б) -2х=2; в) 0,25х=8 ¾; г) уравнение не существует

2. а) линейное уравнение: х= — 4/7 ; б) квадратное уравнение – корней нет;

в) квадратное уравнение – х ₁ =х ₂ = — 2/3 г) квадратное уравнение –

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

формировать прочные навыки решения квадратных уравне­ний, содержащих параметры;

обеспечить условия для самостоятельной творческой работы учащихся;4

сознательное усвоение школьниками алгебраических понятий и связей между ними.

Проверка домашнего задания.

Пример 1. Решите относительно х уравнение х 2 — 2х + с = 0.

2) 4 -4с = 0, с = 1, x =1.

Исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Если с Є (-∞; 1), то

если с = 1, то х = 1;

если с Є (1; +∞), то корней нет.

Пример 2 . Решите относительно х уравнение х 2 — ах = 0.

х г — ах = 0, х(х — а) = 0,

Ответ. Если а = 0, то х = 0;

если то х ₁ = 0, x ₂ = а.

Пример 3 . Решите относительно х уравнение тх 2 — 6х + 1 = 0.

1) Если т = 0, то — 6х + 1 = 0, х = 1/6.

в) 36 — 4т m > 9, исходное уравнение корней не имеет

Решите относительно х уравнение 6х 2 – 5 b х + b 2 = 0.

При каком значении параметра а уравнение имеет положительные корни?

Решите относительно х уравнение 12х 2 -7сх + с 2 = 0.

При каком значении параметра а уравнение 1/3 (5х-а) = ¼ (6х-1) имеет отрицательные корни?

После того, как учащиеся выполнят самостоятельную работу, обязательно сделайте проверку.

В-2. 1. Если с = 0, то х = 0; если с ≠ 0, то x ₁ = — c /3, x ₂ = — c /4 2. При а

Решите относительно у уравнения:

в) y 2 — З y = а 2 + За;

г) а y 2 + 6 y + а = 3(2 y — а).

Ответы: а) Если с = 2, то y — любое число; если с ≠2, то у ₁ = — 2, y ₂ = 2;

г) при а = 0 у — любое число, при а ≠ 0 корней нет.

Тема урока: «Решение квадратных уравнений, содержащих параметры».

ввести алгоритм решения квадратных уравнений, содержа щих параметры;

использовать полученные навыки для решения нестандарт­ ных задач.

На доску вывешивается плакат:

Алгоритм решения уравнения

Условия поиска значений параметра а

Характеристика множества корней

x – любое число из R

Пример 1. Решите уравнение с x 2 — 3(2с — I ) x — (15 — 5с) = 0.

Следуя алгоритму, рассмотрим следующие случаи:

Пример 2 . При каких значениях параметра b уравнение ( b — I ) x 2 – 2 b х + b + 1 = О имеет: а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) единственный корень? . Решение.

а) Согласно теореме Виета

b Є (- ∞ ; -1)U (1;+ ∞ )

решении нет;

в) если b = 1, то — 2х + 2 = 0, х = 1;

b ≠ 1; D = 4 b 2 — 4( b 2 — 1) = 4 b 2 -4 b 2 +4=4≠0

Ответ: а) b Є(- ∞; -1) U (1;+ ∞) _; б) таких b не существует; в) b = 1.

При каких значениях параметра а уравнение х’ 2 — (2а + 1)х + а 2 + а — 6 = 0 имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ных корня; в) корни разных знаков?

При каких значениях параметра b уравнение у 2 — (2 b — 1)у + b 2 — b — 2 = О имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) корни разных знаков?

1. При каких значениях параметра с уравнение x 2 — cx +16=0 имеет:

а) два положительных корня; б) два отрицатель­ ных корня; в) единственный корень?

2. При каких значениях параметра с уравнение (х + Зс + 2) 2 — ( x — Зс — 2) 2 = 40 имеет:

а) корни; б) нет корней; в) поло жительный корень; г) отрицательный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение (х + а) 3 — (х — а) 3 = х(3х 2 + а 2 )(а — 1)

имеет: а) положительный корень; б) отрицательный ко­ рень; в) корень, равный нулю?

Ответы: 1. а) При с- > 8; б) при с = -8 пли с=8

2.

3..а)а Є (-∞ _; о) U (1;+ ∞); б) а Є (0; 1); в) а = 0.

Тема урока:: «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».

• формировать умение решать дробно- рациональные уравне­ния, содержащие параметры.

(Устно.) Решите уравнения:

Найдем недопустимые значения параметра а:

10 — а = 5, а = 5; 10 — а = а, а = 5.

Ответ. Если а = 5, то уравнение теряет смысл; если а ≠ 5, то х = 10 — а.

Исключая недопустимые значения параметра b , полу­ чаем, что уравнение имеет два корня, если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2.

б) 4Ь 2 = 0, b = О, но это недопустимое значение параметра b ; если б 2 — 1 = О,

т. е. b = 1 или b = — 1, то — 2х + 1 = 0, х = ½ .

Ответ: а) если b ≠ — 2, b ≠ — 1, b ≠0, b ≠ 1, b ≠ 2 , то два корня; б) если b =1 или b = — 1, то единственный корень.

Задание на дом. Решите уравнения:

Тема урока : «Решение дробно-рациональных уравнений, со держащих параметры».

обучение решению уравнений с нестандартным условием;

сознательное усвоение учащимися алгебраических понятий и связей между ними.

Проверка домашнего задания

Пример 1. Решите уравнение а) относительно х; б) относительно у.

а) Найдем недопустимые значения у:

у = 0, х = у, у 2 = у 2 — 2у,

у = 0 — недопустимое значение параметра у.

Если у ≠ 0, то х = у — 2;

если у = 0, то уравнение теряет смысл.

б) Найдем недопустимые значения параметра х:

у = х, 2х — х 2 + х г = О,

х = 0 — недопустимое значение параметра х;

у(2 + х — у) = 0, у = 0 или у = 2 + х;

у = 0 не удовлетворяет условию у(у — х) ≠ 0.

Ответ: а) если у = 0, то уравнение теряет смысл; если у ≠ 0, то х = у — 2;

б) если х = 0, то уравнение теряет смысл; если х ≠ 0, то у = 2 + х.

Пример 2 . При каких целых значениях параметра а корн и уравнения

принадлежат промежутку

Ответ: 5

Пример 3. Найдите относительно х целые решения уравнения

Ответ. Если у = 0, то уравнение не имеет смысла; если у = — 1, то х — любое целое число, кроме нуля; если у ≠ 0, у ≠ — 1, то решений нет.

Пример 4 . Решите уравнение с параметрами а и b /

Ответ. Если а = 0 или b = 0, то уравнение теряет смысл; если а ≠ О, b ≠ 0, а = — Ь, то x — любое число, кроме нуля; если а ≠ О, b ≠ 0, а ≠ — Ь, то х = — а, х = — Ь.

Пример 5 . Докажите, что при любом значении пара­ метра n , отличном от нуля, уравнение имеет единственный корень, равный – n .

Т.е. х=- n , что и требовалось доказать.

Найдите целые решения уравнения

При каких значениях параметра с уравнение имеет: а) два корня;

б) единственный корень?

3. Найдите все целые корни уравнения если а Є N.

4. Решите уравнение Зху – 5х + 5у = 7: а) относительно у; б) относительно х.

1. Определите тип уравнения 7с(с + 3)х 2 + (с — 2)х — 8 = 0 при: а) с = — 3; б) с — 2; в) с = 4.

2. Решите уравнения:

а)х 2 — b х = 0; б) cx : 2 – 6 x + 1=0 в)

Решите уравнение З x — ху — 2у = 1: а) относительно х; б) относительно y /

Найдите целые корни уравнения n х г — 26х + п = О, зная, что параметр n принимает только целые значения.

При каких значениях b уравнение имеет: а) два корня;

б) единственный корень?

1. Определите тип уравнения 5с(с + 4)х 2 + (с- 7)х + 7 = 0 при: а) с = — 4; б) = 7; в) с = 1.

2. Решите уравнения:

а) у 2 + су = 0; б) n у 2 — 8у + 2 = 0; в)

3. Решите уравнение 6 x — ху + 2у = 5: а) относительно x ; б) относительно у.

4. Найдите целые корни уравнения n х 2 – 22 x + 2 n = О, зная, что параметр га принимает только целые значения.

5. При каких значениях параметра а уравнение имеет: а) два корня;

Рациональные уравнения. Семь типов рациональных уравнений, сводящихся к квадратным

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений, которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой — число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной:

Получаем уравнение

Ответ: