Решите систему уравнений cos x

Системы уравнений по-шагам

Результат

Примеры систем уравнений

Метод Гаусса
Метод Крамера
Прямой метод
Система нелинейных уравнений

Указанные выше примеры содержат также:

квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
число Пи pi
комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

учреждений. Базовый и

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1 . Решите систему уравнений

Из первого уравнения находим и подставляем во второе.

Получаем

Замечание. Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной системы.

Действительно, в таком случае имеем

Тогда, например, при n = 0 получаем

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:

Но эти пары значений х и у не являются решениями заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.

Поэтому следует запомнить:

Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–».

Задача 2 . Решите систему уравнений

Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае, когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

Вопросы для контроля

Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

Упражнения

Решите систему уравнений (1–8).

Задания С1. Системы тригонометрических уравнений

.Задания С1. Системы тригонометрических уравнений.

Выступление на школьном МО, практическое занятие с учителями математики.

При решении тригонометрических систем часто бывает непросто сделать первый шаг, найти «ключ» к решению задачи. Какие-то общие рекомендации дать нельзя. Можно лишь посоветовать стараться применять такие преобразования уравнений системы, которые приводят к появлению тригонометрических функций одного аргумента или хотя бы не увеличивают число функций с разными аргументами.

При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т. д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры.

Рассмотрим некоторые типы систем тригонометрических уравнений и укажем наиболее употребительные методы решения систем, основываясь на общей теории систем уравнений.

Замечание. Обратим внимание на типичную ошибку, которую допускают учащиеся и абитуриенты при записи решений систем тригонометрических уравнений. Дело в том, что параметры и появляются при решении разных уравнений системы и независимы друг от друга. Поэтому эти параметры должны обозначаться разными буквами. Обозначение их одним символом ведет к потере решений.

В некоторых случаях системы тригонометрических уравнений можно свести к алгебраическим системам.

Приступая к решению системы тригонометрических уравнений, целесообразно вначале проверить, нельзя ли непосредственно из какого-либо уравнения системы выразить одно из неизвестных через другие.

П р и м е р 1 . Решить систему уравнений:

П р и м е р 2 . Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения:

П р и м е р 3 . Решить систему уравнений:

sin x cos y = 1/2

cos x sin y = — 1/2

Решение.

Складывая и вычитая уравнения системы, получаем:

равносильную данной. Эту систему можно записать в виде

Oткуда находим: где , откуда следует, что

Ответ:

П р и м е р 4. Решить систему уравнений:

Решение

Полагая , получаем систему уравнений

откуда .

Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

откуда следует, что .

Ответ:

П р и м е р 5. Решить систему уравнений

Решение

Полагая , получаем алгебраическую систему

откуда находим .

Таким образом, , откуда

, , .

Ответ: , ,

П р и м е р 6. Решить систему уравнений:

Решение:

Мы знаем основное тригонометрическое тождество: sin²y +cos²y = 1.
Возводим оба уравнения в квадрат и получаем:

Решаем это уравнение и получаем два корня : x = 6 и x = 7.

Поставляем в исходную систему x = 6:
sin y = 0,

cos y = – 1, отсюда y = π + 2πn, nZ.

Поставляем в исходную систему x = 7:
sin y = 1,

cos y = 0, отсюда

Ответ: х =6; y = π + 2πn, nZ.

х=7;

П р и м е р 7. Решить систему уравнений:

cosY√(sinX)=0

2sin2x=2cos2y+1

ОДЗ: sinx ≥ 0, т. е. xc I, II четверти

1) sinx =0

2*0 = 2cos2 y +1 —> cos2 y = –0,5 — решений нет.

2) cosy = 0 —> y = п/2 + 2пk, kc Z или y= – п/2 + 2пk не удовл. ОДЗ.

2sin2 x = 1, sinx = 1/√2 (т. к. sinx>0) x = (-1)k п/4 +пk, kc Z.

Ответ: x = (-1)k п/4 +пk, kc Z, y = п/2 + 2пk, kc Z .

П р и м е р 8. ). Решите систему уравнений:

tg x + tg y = 1 — tg x tg y

sin 2y — 2sin x = 1

Решение. Исходная система имеет смысл лишь в случае, когда определены функции tg x и tg y, т. е. выполняются условия

cos x ≠ 0, cos y ≠ 0. (3)

Рассмотрим первое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 — tg x tg y и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде:

но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых

1 — tg x tg y = 0 (5)

Однако легко убедиться в том, что система (1), (2), (5) не имеет решений. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнений (1) следовало бы, что tg x + tg y = 0. Но тогда уравнение (5) приняло бы вид 1+tg2y=0, и следовательно, оно бы решений не имело.

Таким образом, исходная система пир условии (3) равносильна системе (2), (4).

Из уравнений (4) находим x + y = П/4 + Пn, т. е.

y = П/4 + Пn — x, n  Z (6)

Теперь найденное для y выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:

sin (П/2 — 2x + 2Пn) — 2 sin x = 1.

Полученное уравнение приводится к виду sin x (2 sin x + 2) = 0, откуда

а) sin x = 0, x = Пm, m  Z

x = (-1)k+1П/4 + Пk, k Z.

По формуле (6) определяем соответствующие значение y. Для серии а)

y = П/4 + П(n — m), n, m Z (7)

y = П/k+1П/4 + П(n — k), n, k  Z (8)

Значения (x, y) из формулы (7) удовлетворяют условию (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sin x = — 2/2, то cos x ≠ 0, так что первое неравенство условия (3) заведомо выполнено. Второе неравенство cos y ≠ 0 выполняется не всегда.

Если k — четное число, т. е. k = 2p, где p Z, то по формуле (8) находим y = П/2 + П(n — 2p). Для этих значений y условие (3) не выполняется. Если же k — нечетное число, т. е. k = 2p-1, где p Z, то y = П(n — 2p + 1) и условие (3) выполнено. Соответствующие зжначения x находим по формуле б): x = — 3П/4 + 2Пp.

Ответ: (Пm; П/4+П(n — m)), (- 3П/4 + 2Пp; П(n — 2p_1)), m, n,p  Z.

П р и м е р 9. Решите систему уравнений:

cos x — sin x = 1 + cos y — sin y

3sin 2x — 2sin 2y = 3/4

Решение. Воспользуемся тождеством

(sin x — cos x)2 = 1 — sin 2x

cos x — sin x = u, cos y — sin y =v (11)

sin 2x = 1 — u2, sin 2y = 1 — v2

и система (10) сводится к алгебраической системе

Система (12) имеет два решения:

u1 = — 9/2, v1 = — 11/2 и u2 = 1/2, v2 = — 1/2

Рассмотрим вначале значения u1, v1. Возвращаясь к исходным переменным, по формулам (11) получаем:

cos x — sin x = — 9/2

cos y — sin y = -11/2

Но уже первое уравнение системы (13) решений не имеет, так как

cos x — sin x = 2 cos (x + П/4) ≥ -2 > — 9/2.

Следовательно система (13) решений не имеет.

Рассмотрим теперь значение u2 и v2. Вновь по формулам (11) получим

cos x — sin x = 1/2

cos y — sin y = -1/2

Для первого уравнения находим

co x 1/2 — sin x 1/2 = 1/22, cos (x + П/4) = 1/22, x + П/4 = ± arccos(1/22) + 2Пn, x = — П/4 ± arccos(1/22) + 2Пn.

Точно так же получаем

y = — П/4 ± arccos(1/22) + 2Пm.

Таким образом, найдем следующие решения исходной системы:

Ответ: (- П/4 ± arccos(1/22) + 2Пn; — П/4 ± arccos(- 1/22) + 2Пm) (знаки выбираются независимо друг от друга).

При таких способах решения необходимо внимательно следить за тем, чтобы не потерять решений и не приобрести посторонних решений.

П р и м е р 10. Решите систему уравнений:

4 sin x — 2 sin y = 3

2 cos x — cos y = 0

Решение. Систему (15) можно привести к виду (14). Сделав это, получим равносильную систему:

sin x = 3/4 + 1/2 sin y

cos x = 1/2 cos y

Возводя почленно уравнения системы (16) в квадрат и складывая, получаем уравнение, являющееся следствием системы (16):

1 = 9/16 + 3/4 sin y + 1/4 sin2 y + 1/4 cos2 y, или

sin y = 1/4 (17), откуда

y = (-1)n arcsin1/4 + Пn. (18)

Из первого уравнения системы (16) с учетом (17) находим sin x = 7/8,

x = (-1)m arcsin7/8 + Пm (19)

Поскольку при решении системы (15) могли появиться посторонние решения (использовалась операция возведения в квадрат), необходимо произвести отбор, подставив найденные значения (18), (19) во второе уравнение этой системы.

Легко видеть, что пир четных m и n в формулах (18), (19) соответствующие значения cos x и cos y положительны, а при нечетных m и n эти значения отрицательны. Таким образом, |cos x| = (1 — sin2 x) = 15/8, |cos y| = 15/4, так что для выполнения второго уравнения системы (16) требуется только, чтобы знаки cos x и cos y совпадали. Отсюда получаем:

x = arcsin7/8 + 2Пk

y = arcsin1/4 +2Пl

x = — arcsin7/8 + (2k + 1)П

y = — arcsin1/4 + (2l +1)П

Обе полученные серии (20) можно объединить и ответ записать в следующем виде.

Ответ: ((-1)p arcsin7/8 + Пp; (-1)p arcsin1/4 + П(p + 2r)).

П р и м е р 11. Решить систему уравнений