Решите системы уравнений методом исключения

Метод исключения — сведение системы ДУ к одному уравнению

Частным случаем канонической системы дифференциальных уравнений является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной.

Введением новых функций

это уравнение заменяется нормальной системой уравнений

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система уравнений первого порядка

эквивалентна одному уравнению порядка . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений — метод исключения .

Проиллюстрируем этот метод на примере системы двух уравнений:

Здесь — постоянные коэффициенты, а и — заданные функции; и — искомые функции. Из первого уравнения системы (1) находим

Подставляя во второе уравнение системы вместо у правую часть (2), а вместо производную от правой части (2), получаем уравнение второго порядка относительно

где — постоянные. Отсюда находим . Подставив найденное выражение для и в (2), найдем .

Пример 1. Проинтегрировать систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы (3) находим , тогда

Подставляя (4) во второе уравнение системы (3), получаем линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

Общее решение уравнения (5)

Находя производную по от (6), получаем

Общее решение системы (3):

Пример 2. Решить задачу Коши для системы

Решение. Из второго уравнения системы (7) находим

Подставляя (9) и (10) в первое уравнение системы (7), получаем уравнение , общее решение которого

Подставляя (11) в (9), найдем . Общее решение системы (7)

При начальных условиях (8) из (12) получим систему уравнений для определения

решая которую, найдем . Подставляя эти значения и в (12), получаем решение поставленной задачи Коши:

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения системы находим

Подставляя эти выражения для и во второе уравнение, получаем

Считая , из последнего уравнения имеем и после интегрирования получим . Теперь легко находим

Общее решение данной системы

Замечание. Не всякая система дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению более высокого порядка. Например,

не сводится к одному уравнению второго порядка. Ее общее решение .

Решите системы уравнений методом исключения

1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на одно меньше. С новой системой поступаем так же до тех пор, пока это возможно.

Однако очень часто при решении системы этим способом мы приходим к уравнениям, которые невозможно решить. Общих правил для решения систем не существует, но для некоторых систем существуют специальные приемы.

2. Однородные системы

3. Симметрические системы

4. Часто систему можно решить, если её сначала упростить с помощью равносильных преобразований.

Приведём примеры некоторых преобразований, приводящих к равносильным системам.

1. Если любое уравнение системы заменить равносильным ему уравнением, то получим равносильную систему.

2. Если в одном из уравнений системы левая часть является произведением двух функций, то система равносильна совокупности при условии, что справа 0. Например,

f 1 x , y f 2 x , y = 0 , g x , y = 0 ⇔ f 1 x , y = 0 , g x , y = 0 . f 2 x , y = 0 g x , y = 0 . \left\<\beginf_1\left(x,y\right)f_2\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0\end\right.\Leftrightarrow\left[\begin\left\<\beginf_1\left(x,y\right)=0,\\g\left(x,y\right)=0.\end\right.\\\left\<\beginf_2\left(x,y\right)=0\\g\left(x,y\right)=0.\end\right.\end\right.

(УР С1)

3. Если какое-нибудь уравнение системы умножить на число, отличное от нуля, то получится система, равносильная исходной.

4. Если к одному из уравнений системы прибавить линейную комбинацию нескольких других, то получим равносильную систему.

f 1 x , y = 0 , f 2 x , y = 0 ⇔ f 1 x , y + a f 2 x , y = 0 , f 2 x , y = 0 , \left\<\beginf_1\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0\end\right.\Leftrightarrow\left\<\beginf_1\left(x,y\right)+af_2\left(x,y\right)=0,\\f_2\left(x,y\right)=0,\end\right.

(УР С2)

`a` — произвольное число.

Обратим внимание на то, что в равносильной системе появилось дополнительное неравенство! (т. к. возведение в квадрат не всегда приводит к равносильному уравнению.)

(УР С4)

Обратим внимание на то, что в системе остается то уравнение, в котором обе части отличны от нуля!

Решите системы уравнений методом исключения

Можно рекомендовать следующий метод решения систем линейных уравнений, который является методом исключения неизвестных (или методом Гаусса). Пусть дана система

(1»)

Если мы умножим какое-либо уравнение системы (1″) на постоянное число и прибавим его к другому уравнению системы, то получим новую систему, эквивалентную прежней. Новая система уравнений будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы (). Преобразование заключается в том, что некоторая строка матрицы видоизменяется прибавлением к ней другой строки, умноженной на соответствующее число.

Подобным образом, если умножить какое-либо из уравнений системы на число , оставив остальные уравнения прежними, то получим новую систему, очевидно, эквивалентную исходной. Новая система будет иметь свою матрицу , соответствующим образом преобразованную из матрицы (). На этот раз преобразование заключается в том, что строка, соответствующая указанному уравнению, умножается на .

Появляется также необходимость переставлять местами два уравнения системы (1″), получив, таким образом, формально новую, но эквивалентную исходной систему. В этом случае преобразование сводится к перестановке местами двух строк матрицы .

Указанные три преобразования называют элементарными преобразованиями матрицы.

Технически, вместо того чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что пишут только соответствующую ей матрицу . Всегда можно, применяя подходящим образом элементарные операции над системой уравнений или, что все равно, над матрицей , добиться либо решения заданной системы (1″), либо прийти к явно противоречивой системе. Так как последняя эквивалентна системе (1″), то это докажет противоречивость системы (1″).

Ниже приводятся примеры применения этого метода.

Операция обозначает, что получается из посредством одной или нескольких элементарных преобразований.

Пример 7. Решить систему

Конечно, согласно теореме 1, мы могли бы просчитать все пять определителей четвертого порядка и найти . Здесь было бы много повторяющихся вычислений.

Составим матрицу :

где, как мы видим, последний столбец состоит из правых частей нашей системы. Умножая первую строку на (-1) и прибавляя ее к третьей и четвертой строкам, получим матрицу

В матрице элементы третьей строки, являющиеся коэффициентами при неизвестных, кроме одного, равны нулю. Переместим эту строку на место второй строки. Тогда элемент, не равный нулю, окажется на главной диагонали: