Решите уравнение 6 класс знания

Урок 43 Бесплатно Решение уравнений

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

Линейное уравнение

В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение — это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, — это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения — это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х— неизвестное число

a и b— некоторые числа:

а— это коэффициент уравнения.

b— это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.

Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный, как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).

Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.

Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применяться в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.

Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.

Папирус был обнаружен в 1858 г. Сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.

В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.

Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».

Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.

Однако первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».

Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.

Мухамед Бен Муса аль-Хорезми впервые представил алгебру (раздел математики) как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию уравнений.

Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с чем казались очень громоздкими и сложными.

Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.

Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.

Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.

Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, он ввел понятие математической формулы.

До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Урок математики по теме «Решение уравнений». 6-й класс

Класс: 6

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (566 кБ)

Продолжительность: 45 минут.

Предмет, класс, в котором используется продукт: математика, 6 класс.

Авторы учебника, учебно-методического комплекта: Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика 6 класс, 2013 г.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний по теме «Решение уравнений».

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная .

Методы обучения: словесный, наглядный, проблемный, практический.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, компьютер, бланки с заданиями.

Пояснительная записка: при подготовке урока в 6 классе учитываются возрастные особенности учащихся и государственный стандарт по математике.

Цели урока:

• повторить и обобщить знания учащихся по решению уравнений;
• формирование умения переносить слагаемые из одной части в другую.

• формировать умение анализировать;
• обобщать, развивать математическое мышление.

• формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и саморегуляции деятельности.

Здоровье сберегающий аспект урока:

• доброжелательная атмосфера, способствующая положительному эмоциональному настрою;
• создание ситуации успеха на уроке;
• чёткая организация урока;
• подвижная физкультминутка для снятия усталости.

Ход урока

I. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности. (1 мин.)

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку. Просит их обратить внимание на доску.

II. Актуализация знаний. (5 мин.)

Новые знания нам будет очень трудно осваивать без умения быстро и верно считать, поэтому, как всегда, начнем урок с устного счета:

Задание №1 Раскройте скобки (Слайд №2):

На доске поэтапно появляются ответы для проверки.

Задание №2 Упростите выражение (Слайд №3):

На доске поэтапно появляются ответы для проверки.

А теперь давайте вспомним, чем же выражение отличается от уравнения. Ответьте на вопросы

Какое равенство называют уравнением? (Слайд №4) Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Что значит решить уравнение? (Слайд №5) Найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.

III. Изучение нового материала. Первичное усвоение новых знаний. (13 мин.)

Давайте сначала решим уравнение, применив распределительное свойство умножения (Слайд №6):

1 способ

Давайте решим тоже уравнение по правилу отыскания неизвестных компонентов (Слайд №7)

2 способ

– Что неизвестно в уравнении?

– Как найти неизвестный множитель?

Что мы с вами получили?

Итак, уравнение – это равенство. А в жизни мы встречаемся с понятием равенство?

Постановка проблемной ситуации

Давайте посмотрим на рисунок весов, представленный на доске. (Слайд №8) Что нам нужно сделать, чтобы уровновесить правую и левую часть?

Запишите какое уравнение было и какое получилось.

б) Решение проблемной ситуации (Слайд №9) Давайте попробуем объяснить решение нашего уравнения математическим языком.

Нужно получить такое уравнение, чтобы слагаемые с x были только слева. Что для этого необходимо сделать?

Давайте рассмотрим такой вопрос: Вы собираетесь за границу. О чем в первую очередь вы должны подумать, когда пересечете границу?

Правильно, пересекая границу, вам обязательно надо поменять паспорт.

Давайте представим, что знак «=» — это граница, а знак числа – это ваш паспорт. Когда мы пересекаем границу, меняем паспорт, то есть, если число переносим из одной части в другую, мы должны поменять знак.

Давайте попробуем сформулировать основные способы решения уравнений. (Слайд №10)

• Умножение и деление обоих частей уравнения на одно и тоже число, не равное нулю;

• Перенос членов уравнения из одной части в другую, изменяя при этом их знак на противоположный.

Формулируем определение линейного уравнения (Слайд №11) Уравнение вида ax=b, где a≠0 называют линейным уравнением с одним неизвестным

IV. Первичная проверка понимания. (6 мин.)

Принято при решении уравнений переносить слагаемые так, чтобы в левой части уравнения были неизвестные числа, а в правой — известные числа. Давайте решим уравнение (Слайд №12):

Предлагаю решить вам №1314(а,б), 1315(а,б),1316(а,б). Учащиеся решают данные номера на доске и в тетрадях. В последствии сравниваются с ответами на доске. (Слайд №13)

V. Физкультминутка. (1 мин.)

Учащимся предлагается упражнение для глаз.

VI. Этап закрепления изученного материала. (12 мин.)

Решить номер 1320

1 способ: С помощью основного свойства пропорции. (Слайд №14)

2 способ: С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число. (Слайд №15)

Решите задачу №1322 с помощью уравнения. (Слайд №16) На доске появляется наглядное изображение задачи.

Предлагаю решить вам задачу, заполнив таблицу (Слайд №17)

Предлагаю Вам решить уравнения. (Слайд №18) Учащиеся решают уравнения на отдельно подготовленных листочках с бланками. Потом происходит взаимопроверка учащихся с доской (учащиеся обмениваются бланками с решениями и сверяют ответы с доской). Учитель рассказывает о критериях выставления оценки. Просит выставить оценки друг другу. Далее учащиеся передают свои бланки вперед учителю.

Вариант 1

Вариант 2

VII. Этап подведения уроков. Домашнее задание. (2 мин.)

Наш урок подходит к концу. Давайте ответим на следующие вопросы (Слайд №19):

1. Какое равенство называют уравнением?
2. Что значит решить уравнение?
3. Какие существуют основные способы решения уравнений?

Запишите пожалуйста домашнее задание в дневники (Слайд №20) № 1341(а-г), 1342 (а-в), 1350, 1351

VIII. Рефлексия. (1 мин.)

Выставите оценку за сегодняшнюю работу в дневники (каждый ученик выставляет ту оценку, которую он получил за самостоятельную работу).

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.