Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Показательная функция, её свойства и график
Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m
4) (ab) n = a n b n
7) a n > 1, если a > 1, n > 0
8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)
Показательная функция обладает следующими свойствами
1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.
2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.
3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.
График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0
Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^
x — 2 = 0
Ответ х = 2
Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1
Обычные ур-ния по-шагам
Результат
Примеры уравнений
- Линейные ур-ния
- Квадратные ур-ния
- Тригонометрические ур-ния
- Ур-ния с модулем
- Логарифмические ур-ния
- Показательные ур-ния
- Уравнения с корнями
- Кубические и высших степеней ур-ния
- Ур-ния с численным решением
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
Алгебра
План урока:
Модуль числа
Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:
|2,536| = |– 2,536| = 2,536
Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:
Именно такое определение обычно и применяется в математике.
Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:
Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:
В частности, если n = 1, получим формулу:
Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:
Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:
В результате получилась «галочка».
Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|
Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:
Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:
Решение уравнений с модулем
Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид
где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.
Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15
Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют.
Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.
Пример. Решите ур-ние
Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:
Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:
То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.
Пример. Решите ур-ние
Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:
10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7
10х = 2 или 10х = – 12
х = 0,2 или х = – 1,2
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:
x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4
Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36
Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:
х = 0 или х – 2 = 0
Получили ещё два корня: 0 и 2.
Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:
Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|
Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:
x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)
х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0
Решим 1-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Теперь переходим ко 2-омуур-нию:
х = 0 или х + 3 = 0
Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.
Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.
Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:
|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х
Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:
х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х
х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0
Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81
D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144
Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:
Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.
Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:
Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:
Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:
Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.
Так как при х 2 + bx + c = 0
Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.
Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.
Пример. Решите ур-ние
и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.
Решение. Вынесем множитель х за скобки:
х = 0 или х – 2а = 0
Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:
при а = 3х = 2•3 = 6
Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.
Пример. Решите ур-ние
р 2 х – 3рх = р 2 – 9
Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:
рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)
Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.
Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во
0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)
Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.
Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее
Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.
Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим
В этом случае ур-ние имеет единственный корень.
Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.
Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.
Пример. Сколько корней имеет ур-ние
при различных значениях параметра b.
Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:
D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16
Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:
Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:
3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4
Теперь построим квадратичную ф-цию:
Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:
Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:
При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.
Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0
имеет ровно 4 корня?
Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)
Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у1 и х 2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны
Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины
Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние
вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.
Итак, решим ур-ние (1):
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0
D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =
= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2
Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.
Извлечем корень из дискриминанта:
Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:
И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:
Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство
Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.
Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение
можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).
Пример. При каких параметрах а у ур-ния
х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0
существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?
Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =
= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16
Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам
Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:
Значит, должны выполняться два нер-ва
х1>– 5и х2 – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)
http://mrexam.ru/equation
http://100urokov.ru/predmety/urok-4-uravneniya-s-modulem