Решите уравнение f x 0 и неравенство

Шаг 1. Введите неравенство

Укажите решение неравенства: f*x>=0 (множество решений неравенства)

Решение

Дано неравенство:
$$f x \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$f x = 0$$
Решаем:
Дано линейное уравнение:

Разделим обе части ур-ния на f

$$x_ <1>= 0$$
$$x_ <1>= 0$$
Данные корни
$$x_ <1>= 0$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ <0>\leq x_<1>$$
Возьмём например точку
$$x_ <0>= x_ <1>— \frac<1><10>$$
=
$$- \frac<1><10>$$
=
$$- \frac<1><10>$$
подставляем в выражение
$$f x \geq 0$$
$$\frac<-1 f> <10>\geq 0$$

Тогда
$$x \leq 0$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 0$$

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решение неравенств онлайн

Неравенства — это выражения вида:

где вместо знака &#x2265 , может стоять знак &#x2264 или знаки &#x003c и &#x003e .

Решить приведённое выше неравенство, означает найти совокупность всех значений переменной x при которых выражение больше или равно 0 .

Рассмотрим график произвольной функции f ( x ) :

Из графика мы может сразу же записать интервалы значений х при которых функция f ( x ) &#x2265 0 (закрашены светло-зелёным цветом):

Из графика видно, что функция меняет знак в точках пересечения оси х . Следовательно, для решения любых неравенств, сначала нужно определить такие значения x , при которых функция f ( x ) равна нулю, т.е. решить уравнение f ( x ) = 0 .

Полученный набор значений x _i (т.е. корни уравнения f ( x ) = 0 ) разбивает координатную ось на интервалы в каждом из которых значение функции сохраняет свой знак (либо больше, либо меньше нуля).

Для решения соответствующего неравенства, нужно определить знак функции в каждом из полученных интервалов и выбрать те из них, которые удовлетворяют условию неравенства. Для того, чтобы определить знак функции на некотором интервале ( x _i ; x _j ) , нужно подставить вместо значения x в выражение f ( x ) любое значение x _k &#x0454 ( x _i ; x _j ) .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha LLC, способен решить очень большое количество разнообразных неравеств с описанием пошаговых действий.

Метод интервалов решения неравенств

Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) x = 2

Получили два корня.

Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000).

f(3)=(3 — 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

Шаг 4: нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси.

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x — 2)(x + 7) 2 — 6x + 1)(x — 2) ≥ 0

Решение:

Для начала необходимо найти корни уравнения

(9x 2 — 6x + 1)(x — 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x — 1) 2 (x — 2) = 0

x — 2 = 0; (3x — 1) 2 = 0

Решив эти уравнения получим:

x₁ = 2; x₂ = ; x₃= ;

Нанесем точки на числовую прямую:

Т.к. x₂ и x₃ – кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

Возьмем любое число меньшее самой левой точки и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

(9*(-1) 2 — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства ≤.

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ: < > U [2;+∞)

Пример 3:

Решить неравенство:

(9x 2 — 6x + 1)(x — 2) > 0

Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

Найдем корни уравнения (9x 2 — 6x + 1)(x — 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

x₁= 2; x_2,3 = ;

Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

Обратите внимание, что корни x₂ и x₃ совпадают, корень “ ” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

Возьмем число -1.

(9*(-1) 2 — 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства

источники:

http://mathforyou.net/online/inequality/

http://ya-znau.ru/znaniya/zn/129