Решите уравнение используя метод замены переменной 10 класс

Гдз по алгебре за 10 класс Мерзляк, Полонский, Якир. Учебник базовый уровень ФГОС Вентана-Граф

Авторы: Мерзляк А.Г. , Номировский Д.А. , Полонский В.Б. , Якир М.С. .

Издательство: Вентана-граф 2013-2022

Тип: Учебник, Базовый уровень

Десятый класс мог бы смело побороться за звание самого беззаботного года старшей школы. В отличие от девятого или одиннадцатого, ребята не тяготятся ожиданием очередной экзаменационной нервотрепки и в мае спокойно уйдут на последние школьные каникулы. Однако будни десятиклассника по-прежнему полны бесконечных домашних заданий, в том числе по алгебре – одному из самых сложных предметов, который с каждым новым этапом становится все насыщеннее. Детям предстоит научиться математическому анализу, освоить понятие производной и ее применение, изучить свойства и способы решения главных тригонометрических функций и уравнений соответственно. И все это сопровождается неустанными напоминаниями учителей про важность заблаговременной подготовки к грядущему ЕГЭ. Справиться с обеими этими задачами подросткам поможет виртуальный консультант ГДЗ по алгебре за 10 класс Мерзляк, ведь он вселяет в ребенка уверенность в собственных знаниях и открывает в нем тягу к самостоятельному труду.

Как работать с онлайн-решебником по алгебре для 10 класса от Мерзляка

Вопреки бытующему среди родителей и педагогов мнению о вреде ГДЗ, их появление вызвало динамичный рост общей успеваемости российских школьников. И заслуга тут не в бездумном списывании готовых ответов, а в регулярной, усердной и, что важнее, добровольной работе с онлайн-репетитором. Для достижения успеха в учебе, пользователю пособия всего лишь нужно придерживаться единственно верного алгоритма взаимодействия с ним, а он включает в себя три шага:

1. Попытаться выполнить упражнение или ответить на вопрос, опираясь только на свои познания в алгебре.
2. Заглянуть в задачник и свериться с данным там решением.
3. При обнаружении несовпадений найти и исправить ошибку.

Действуя по этому принципу, учащийся овладеет всеми практическими навыками, требующимися для успешной сдачи ЕГЭ.

Помимо скрупулезного следования порядку изложения тем в оригинальном УМК, книга привлекает обучающихся и другими положительными сторонами. Это, к примеру, удобная навигация по параграфам и номерам, интуитивно понятный интерфейс и, разумеется, достоверность информации и авторитетность предоставляющих ее специалистов. С ГДЗ по алгебре за 10 класс Мерзляка тяжелейшая техническая дисциплина превратится в интересный и доходчивый урок.

Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Основные цели:

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

План урока
Организационный момент.

Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.

Актуализация знаний учащихся.

Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам (повторяем решение простейших тригонометрических уравнений) и решаем несколько “модифицированных” задач, требующих применения ранее изученного материала и аналитического подхода.

Изучение новой темы.

Цель этапа: cформулировать один из основных методов решения тригонометрических уравнений – метод замены переменной.

Закрепление, решение задач.

Цель этапа: тренировать навыки решения задач по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.

Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

1. Организационный момент

Формулировка темы урока: “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

2. Актуализация знаний учащихся. Приложение

3. Изучение новой темы

Существуют различные методы решения тригонометрических уравнений. Сегодня мы будем рассматривать метод замены переменной, т.е. случай, когда уравнение имеет вид , где — некоторая тригонометрическая функция, а – произвольная функция (чаще всего нам будет встречаться степенная функция, в частности — квадратичная). Для решения уравнений такого типа надо произвести замену переменной вида . Решить полученное алгебраическое уравнение относительно . Учесть, какие значения может принимать эта переменная, рассматривая, какая именно тригонометрическая функция фигурирует в замене. Выполнить обратную замену переменной, решив полученное(-ые) в результате уравнение(-я) относительно неизвестной переменной .

4. Закрепление, решение задач. Приложение

5. Подведение итогов

Резюме: Теперь мы овладели одним из основных методов решения тригонометрических уравнений – методом замены переменной. В дальнейшем в зависимости от вида тригонометрического уравнения мы должны научиться понимать, какой способ решения будет в данном случае наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Выше приведены задания, которые можно использовать в качестве проверочной работы по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”. Уравнения в списке подобраны по мере нарастания сложности. Набор заданий для самостоятельной работы подбирается из этого списка для конкретного класса из расчета на 1 учебный час. Можно включить в работу задания №№1-8, а более сложные задания №№9-21 или выдать в качестве домашнего задания, а затем разобрать на другом уроке, или использовать во внеурочной деятельности.

Проверка работ учащихся показывает, что материал по этой теме усваивается достаточно хорошо. У отдельных учащихся затруднения вызывают задачи, в которых есть необходимость отбора корней с учетом ОДЗ. Главная сложность обычно состоит в том, чтобы привести рассматриваемое тригонометрическое уравнение к такому виду, из которого явно видно, какую замену переменной следует выполнить. После разбора работ учащиеся выполняют работу над ошибками. Тем, кто не справился с частью задач, предлагается решить аналогичные задачи из другого варианта. Результаты повторной проверки обычно показывают, что все учащиеся данную тему осваивают успешно.

Интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность упрощать задачу за счет перехода от тригонометрического уравнения к уже знакомому им алгебраическому. В итоге задача сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения. Также учащиеся интересуются тем, какие типы замены переменных встречаются наиболее часто. Это позволяет им при решении задач быстро определять, какой метод решения будет наиболее эффективным для данного уравнения.

Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

Попробуем сделать замену здесь.

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

Примеры использования метода замены переменной

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

Теперь используем метод замены.

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!

Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Приступим к решению.

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.