Решите уравнение на геометрическую прогрессию

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы.
Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен единице) выражается формулой

первое из выражений удобнее брать, когда прогрессия возрастающая, второе — когда она убывающая
Если же q = 1, то сумма прогрессии равна

Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма бесконечно убывающей прогрессии прогрессии выражается формулой

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Сумма геометрической прогрессии.
Дано: b₁, q, n
Найти: S_n

Эта математическая программа находит \(S_n\) — сумму n первых членов геометрической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \( b_1, q \) и \( n \).
Числа \( b_1 \) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной дроби ( \( 2,5 \) ) и в виде обыкновенной дроби ( \( -5\frac<2> <7>\) ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа \( b_1 \) и \( q \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \( n \) может быть только целым положительным.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5 или так 2,5

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \( -1\frac<2> <3>\)

Введите числа b₁, q, n Найти сумму S_n

Немного теории.

Числовая последовательность

В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.

В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит. Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a₁, a₂, a₃, . a_N
где N — число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a_n.

В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a₁, a₂, a₃, . a_n, . .
Число a₁ называют первым членом последовательности, число a₂ — вторым членом последовательности, число a₃ — третьим членом последовательности и т. д.
Число a_n называют n-м (энным) членом последовательности, а натуральное число n — его номером.

Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, . n 2 , (n + 1) 2 , . а₁ = 1 — первый член последовательности; а_n = n 2 является n-м членом последовательности; a_n+1= (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \( a_n=\frac<1>, \; n \in \mathbb \) задана последовательность \( 1, \; \frac<1> <2>, \; \frac<1> <3>, \; \frac<1> <4>, \dots,\frac<1> , \dots \)

Геометрическая прогрессия

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами \( 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1> <4>\) см и т.д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: \( 4, \; 2, \; 1, \; \frac<1><2>, \; \frac<1><4>, \; \frac<1><8>, \dots \)

В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число \( \frac<1> <2>\)

Определение.
Числовая последовательность
b₁, b₂, b₃, . b_n, .
называется геометрической прогрессией если для всех натуральных n выполняется равенство
b_n+1 = b_nq,
где \( b_n \neq 0 \), q — некоторое число, не равное нулю.

Из этой формулы следует, что \( \frac< b_>=q \). Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

По определению геометрической прогрессии
\( b_ = b_n q, \quad b_=\frac, \)
откуда
\( b_n^2 = b_b_, \quad n>1 \)

Если все члены геометрической прогрессии положительны, то \( b_n=\sqrtb_> \), т.е. каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия.

Отметим, что если b₁ и q заданы, то остальные члены геометрической прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле b_n+1 = b_nq. Однако для больших n это трудоёмко. Обычно пользуются формулой n-го члена.

Вообще,
\( b_n = b_1q^ \)
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением (n-1) раз на число q.
Эту формулу называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Также не сложно получить формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член.
Запишем формулы n-го члена геометрической прогрессии и m-го члена:
\( b_n = b_1q^ \)
$$ b_m = b_1q^ \Rightarrow b_1 = \frac> $$
Подставляя b₁ в первое равенство получим:
$$ b_n = \frac> \cdot q^ = b_m \cdot q^ = b_m \cdot q^ $$
Таким образом мы получили формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии зная m-ый член:
\( b_n = b_m \cdot q^ \)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Найдем сумму
S = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 .
Умножим обе части равенства на 3:
3S = 3 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 + 3 6 .
Перепишем эти два равенства так:
S = 1 + (3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 ),
3S = (3 + 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 ) + 3 6 .

Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из нижнего равенства верхнее, получаем:
3S — S = 3 6 — 1, 2S = 3 6 — 1,
$$ S=\frac<3^6 - 1> <2>= \frac<729 - 1> <2>= 364 $$

Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию \( b_1, \; b_1q, \; \dots, \; b_1q^n, \; \dots \) знаменатель которой \( q \neq 1 \).
Пусть S n — сумма n первых членов этой прогрессии:
\( S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + . + b_1q^ \)
Тогда сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем \( q \neq 1 \) равна
$$ S_n = \frac $$

Можно получить ещё одну формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_n = \frac = \frac = \frac \cdot q — b_1> $$
Так как \( b_n=b_1q^ \), то можно подставить \( b_n \) в предыдущее выражение:
$$ S_n = \frac $$

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b₁, b₂, . , b_n, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и b_n ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, . является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.

Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:

1. Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b₁ Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, . со знаменателем q = 2.
2. Если q Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, . со знаменателем q = –3.
3. Если –1 Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, . со знаменателем q = 0.5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

S_n = b₁ ⋅ (1 — q n ) / (1 — q), где q ≠ 1

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, . . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

b₈ = b₁ ⋅ q 7 = 3 ⋅ 2 7 = 3 ⋅ 128 = 384

S₁₀ = b₁ ⋅ (1 — q 10 ) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 2 10 ) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, . . Найдите его номер.

Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b₁ = –3, q = 2. Найти n.

Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы: