Решить квадратное уравнение онлайн
На данной странице калькулятор онлайн помоежет решить квадратное уравнение. При решении выводится описание.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где a не равно 0 .
Через дискриминант
a x 2 + b x + c = 0
Что бы решить квадратное уравнение, нужно найти все x . При подстановке должно выполняться равенство
ax 2 + bx + c = 0 .
Для начала находится дискриминант по формуле D = b 2 — 4ac :
- Если D > 0 , уравнение имеет два корня.
- Если D = 0 , уравнение имеет один корень.
- Если D > 0 , уравнение не имеет корней.
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
Как найти дискриминант квадратного уравнения
О чем эта статья:
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, содержащее переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим:
13 = 12 — противоречие.
Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
Если же х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим:
12 = 12 — верное равенство.
Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Если все коэффициенты в уравнении отличны от нуля, то уравнение называется полным.
Такое уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта.
Понятие дискриминанта
Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b 2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.
Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.
Как решать квадратные уравнения через дискриминант
Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.
Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.
Если дискриминант D 0, то у уравнения две корня, равные
Чтобы запомнить алгоритм решения полных квадратных уравнений и с легкостью его использовать, сохраните себе шпаргалку:
Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта
Пример 1. Решить уравнение: 3x 2 — 4x + 2 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D 2 — 6x + 9 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
D = 0, значит уравнение имеет один корень:
Ответ: корень уравнения 3.
Пример 3. Решить уравнение: x 2 — 4x — 5 = 0.
- Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
- Найдем дискриминант: D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, значит уравнение имеет два корня:
Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.
Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.
Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения
Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .
Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:
- найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
- решить получившееся целое уравнение,
- исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Пример 1. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:
.
Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.
Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение
.
Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение
.
.
Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.
Пример 2. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —
.
Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению
.
.
Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:
,
то же самое, если x = 3 .
Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.
Пример 3. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:
.
Общий знаменатель — выражение
Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:
Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению
.
.
Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.
Пример 4. Решить дробное уравнение:
.
Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y :
.
Корни этого уравнения:
или .
Из уравнения находим, что
.
Из уравнения находим, что
.
Итак, данное уравнение имеет четыре корня:
, .
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-diskriminant-kvadratnogo-uravneniya
http://function-x.ru/sq_fractional_equations.html