Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение уравнений и неравенств с модулями.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> |x| или abs(x) — модуль x
Введите уравнение или неравенство с модулями
Решить уравнение или неравенство
Немного теории.
Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \( |x-a| \) — это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \( |x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \( |x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \( x_1=1 \) и \( x_2=5 \).
Решая неравенство \( |2x+7| 0 \), то уравнение \( |f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \( \left[\begin
2) Если \( c > 0 \), то неравенство \( |f(x)| c \) равносильно совокупности неравенств: \( \left[\begin
4) Если обе части неравенства \( f(x) 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Итак, \(x_1=-1, \; x_2=3 \).
Второй способ
Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию \( 2\rho(x; \;2)+ \rho(x; \;-3) =8 \) или
MA + 2MB = 8
( здесь A = A(–3), B = B(2) ).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_1(x) \) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(2 – х) = 8,
откуда находим: x = –1.
Рассмотрим случай, когда точка \( M_2(x) \) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(х – 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: –1; 3.
Пусть теперь требуется решить неравенство \( |f(x)| |f(x)| \). Отсюда сразу следует, что \( g(x) > 0 \). Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) неравенство \( |f(x)| 0, \\ -g(x) 0 \\ f(x) -g(x) \end
Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) > 0 \) обе части неравенства \( |f(x)| 0 \\ (f(x))^2 0 \\ x^2 — 3x + 2 -(2x — x^2) \end
Решая эту систему, получаем:
\( \left\<\begin
\( \left\<\begin
\( \left\<\begin
Из последней системы находим: \( 0<,>5 g(x) \). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ
Если \(f(x) \geqslant 0\), то \( |f(x)| = f(x) \) и заданное неравенство принимает вид \( f(x) > g(x) \).
Если \(f(x) g(x) \).
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\<\begin
Второй способ.
Рассмотрим два случая: \( g(x) \geqslant 0, \; g(x) g(x) \) выполняется для всех x из области определения выражения f(x).
Если \( g(x) \geqslant 0 \), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно совокупности неравенств \( f(x) g(x) \).
Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем:
\( \left\<\begin
Третий способ.
Воспользуемся тем, что при \( g(x) \geqslant 0 \) неравенство \( |f(x)| > g(x) \) равносильно неравенству \( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 \). Это позволит свести неравенство \( |f(x)| > g(x) \) к совокупности систем:
\( \left\<\begin
ПРИМЕР 5. Решить неравенство \( |x^2 — 3x + 2| \geqslant 2x — x^2 \)
Первый способ
Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
\( \left\<\begin
\( \left[\begin
Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
\( 2x — x^2 \leqslant 0; \) \( \left\<\begin
Решив неравенство \( 2x — x^2 \leqslant 0 \), получим: \( x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 \)
Решив первую систему, получим: \( 0 0 \), то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств:
\( 2x — x^2 \leqslant 0; \) \( \left\<\begin
Решив неравенство \( 2x — x^2 \leqslant 0 \), получим: \( x \leqslant 0,\; x \geqslant 2 \)
Решая систему, получаем последовательно:
\( \left\<\begin
Модульные уравнения. Уравнения содержащие модуль.Решение уравнений с модулем.
Как решить простейшее модульное уравнение или уравнение содержащее модуль?
Обычно решение сводится к системе :
Уравнения содержащие модуль
Сразу рассмотрим на примере решение уравнений.
Решите уравнение | x – 6| = 18.
Выражение стоящее под модулем приравниваем к 0:
Отмечаем 6 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.
На интервале (-∞; 6) возьмем число 0 и подставим
0-6=-6 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
На интервале (6;+∞) возьмем число 7 и подставим
7-6=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
Числовая прямая
Теперь решаем уравнения на каждом интервале.
(-∞; 6) здесь получился знак “ – ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные:
Видно, что -12 лежит на интервале (-∞; 6) следовательно, является корнем уравнения.
(6;+∞) здесь получился знак “ + ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
Видно, что 24 лежит на интервале (6;+∞) следовательно, является корнем уравнения.
Решите уравнение | 2x – 5 |- | 4 — x | = -18.
Выражения стоящие под модулем приравниваем к 0:
2x – 5 = 0 и 4 — x = 0
x=2,5 и x=4
Отмечаем x=2,5 и x=4 на координатной прямой, далее проверяем знак на каждом из получившихся интервалах.
На интервале (-∞; 2,5) возьмем число 0 и подставим в каждое выражение
2*0-5=-5 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
4-0=4 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
На интервале (2,5; 4) возьмем число 3 и подставим в каждое выражение
2*3-5=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-3=1 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
На интервале (4; +∞) возьмем число 5 и подставим в каждое выражение
2*5-5=5 получилось положительное число, значит на этом интервале будет знак “ + ”
4-5=-1 получилось отрицательное число, значит на этом интервале будет знак “ – ”
Теперь решаем уравнения на каждом интервале.
(-∞; 2,5) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
-2x + 5 — ( 4 — x ) = -18
-2x + 5 — 4 + x = -18
x=19
Видно, что 19 не лежит на интервале (-∞; 2,5) следовательно, не является корнем уравнения.
(2,5; 4) здесь получился знак “ + ” у обоих выражений, значит выражения под модулем останутся без изменений:
2x – 5 — ( 4 — x ) = -18
2x – 5 — 4 + x = -18
3x=-9
x=-3
Видно, что -3 лежит на интервале (2,5; 4) следовательно,не является корнем уравнения.
(4; +∞) здесь получился знак “ – ” у выражения “ 4 — x ”, значит выражение под модулем поменяет знаки на противоположные и знак “ + ” у выражения “ 2x – 5 ”, значит выражение под модулем остается без изменения:
2x – 5 — ( — 4 + x ) = -18
2x – 5 + 4 — x = -18
x=-17
Видно, что -17 лежит на интервале (4; +∞) следовательно,не является корнем уравнения.
Ответ: корней нет
Решите уравнение ||x|-3|=15.
Так как в правой части стоит простое число то распишем на два уравнения (раскроем внешний модуль):
Перенесем в обоих уравнениях -3 вправо, получим:
|x|=18
|x|=-12 (модуль не может равняться отрицательному числу, следовательно это уравнение не имеет решений)
Раскрываем модуль |x|=18
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ
Решение уравнений с модулем
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= — f(x), если f(x)
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3 2 +4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х 2 -5х+6=0
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x
Для вас другие записи этой рубрики:
Отзывов ( 179 )
Здравствуйте,Инна.Как умножить модуль на квадратное уравнение?
Спасибо.
Нужно раскрыть модуль: рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше нуля и когда меньше нуля.
Если модуль в модуле. ||x| — 1| * |x| / x^2 — 1 ==> x -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.
-1 -(x + 1) * (-x) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.
0 -x(x — 1) / (x^2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.
Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…
В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .
http://tutomath.ru/uroki/modulnye.html
http://ege-ok.ru/2011/12/30/kak-pravilno-raskryivat-modul