Решите уравнение с помощью замены переменной 2x

«Решение показательных уравнений с помощью замены переменных». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель урока: изучить способ решения показательных уравнений с помощью замены переменных.

– повторить известные способы решения показательных уравнений;

– показать алгоритм решения с помощью замены переменных;

– создавать условия для формирования навыков организации своей деятельности – самостоятельного поиска решения, самоконтроля;

– приучать к аккуратности выполнения записей в тетради и на доске;

– воспитывать умение работать в парах, взаимопомощь;

– воспитывать умение анализировать результаты своей деятельности;

– формировать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

– формировать грамотную математическую речь;

– формировать умение применять знания в конкретной ситуации.

Преподавание ведется по учебнику А.Н.Колмогорова.

Сегодня мы продолжим знакомство с методами решения показательных уравнений.

Запишите тему урока: “Решение показательных уравнений”, но оставьте строчку, тему мы чуть позже уточним.

2. Актуализация знаний.

Устная работа с классом.

1) =32;	5) = – 25;
2) =81;	6) ;
3) =;	7) =;
4) =27;	8) .

3. Постановка проблемы.

Уравнения 1 – 7 решали, приводя их к виду или . Последнее уравнение решить таким способом не удается.

Обратите внимание: . Предложите способ решения. Нужно ввести новую переменную у = и решить полученное квадратное уравнение.

Какова будет наша цель сегодня? Научиться решать показательные уравнения с помощью замены переменных.

Уточним тему урока: “Решение показательных уравнений с помощью замены переменных”.

4. Изучение нового материала.

Пусть у = , причем у > 0.

Уравнение примет вид .

Решим это уравнение: = –1; = 5.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 5; х = 1.

Решим уравнение .

Перепишем его в виде .

Далее решает ученик у доски с комментированием.

Пусть , причем у > 0.

3у – 8 = ; 3– 8у = 3; 3– 8у – 3 = 0;

Решим это уравнение: = –; = 3.

не удовлетворяет условию у > 0.

= 3; х = 1.

Решим уравнение .

Почему не удается решить? Нельзя привести степени к одному основанию.

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на : .

Далее решает у доски ученик с комментированием.

Пусть у =, причем у > 0.

Уравнение примет вид .

.

Решим это уравнение: = 1; =.

= 1; х = 0. = ; х = 1.

Можно было делить на ? Что изменилось бы в решении? Ввели бы обозначение у =.

5. Первичное закрепление изученного материала.

Ученики работают в парах, более сильные ребята помогают соседям.

Два ученика работают за крыльями доски.

. Перепишем в виде . Пусть , причем у > 0. у += 12; + 27 = 12у; – 12у +27 = 0. Решим это уравнение: = 3; = 9. = 3; х = 1. = 9; х = 2. Ответ: 1; 2.

Разделим обе части уравнения на : . Пусть у =, причем у > 0. Уравнение примет вид . Решим это уравнение: = – 1; =. не удовлетворяет условию у > 0. = ; = ; = 2; х = . Ответ: .

6. Самостоятельная работа.

Чтобы проверить, как усвоен новый материал, выполните самостоятельную работу.

1) ;

2) ;

3) .

По окончании работы ученики самостоятельно проверяют решение по образцу (раздаточный материал), фиксируя места, где допущены ошибки.

7. Итог урока.

• Обсуждение результатов самостоятельной работы.
• Кто выполнил правильно все задания?
• Кто допустил ошибки в первом (втором, третьем) задании? Какие?
• Повторим, какие приемы использовали при решении показательных уравнений.
• Оцените свою работу на уроке.
• Вам предстоит еще раз применить полученные знания при выполнении домашнего задания: № 464(в,г), 470(в,г), 166(г) (стр. 299).

Методы решения систем уравнений с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Решаем методом подстановки: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Для нижнего уравнения: \( \mathrm \)
Подставляем в верхнее уравнение: \( \mathrm \)

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(x^2+y^2)xy=10>& \end\right. \)
Замена переменных: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <(a^2-2b)b=10>& \end\right.\Rightarrow \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <9b-2b^2=10>& \end\right. \)
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ \mathrm< D=9^2-4\cdot 2\cdot 10=1,\ \ b=\frac<9\pm 1><4>> = \left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Возвращаемся к исходным переменным: \( \left[\begin < l >\left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right.& \\ \left\<\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \end\right. \)

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Записывая решения задачи 1, можно при введении замены sin x = t учесть, что | sin x | ≤1 , и записать ограничения | t | ≤ 1 , а далее заметить, что один из корней t = 3 не удовлетворяет условию | t | ≤1 , и после этого обратную замену выполнять только для t = 1/2 .

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИ­ВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.