Решите уравнение sin2x 2cos2x cos2x

Решить sin^2 (x/2) -cos^2 (x/2)=cos2x

Здравствуете, Дорогие друзья! В этой статье мы разберём очередной пример, где требуется решить тригонометрическое уравнение и найти корни принадлежащие заданному отрезку. Способов определения корней, которые принадлежат отрезку несколько.

Кому-то понятнее определять их по тригонометрической окружности, кому-то используя числовую ось. Здесь представлено два алгебраических способа. Каждый из них уже рассматрен отдельно: один в этой статье, другой здесь . Эти способы позволяют найти корни посредством алгебраических вычислений (без построения тригонометрической окружности или числовой оси).

Тригонометрические уравнения, которые будут на ЕГЭ по математике, не требуют ни каких «глубоких» умений в их преобразовании, достаточно знать основные формулы и иметь навык их использования.

Ещё раз отмчу, что для решения подобных заданий необходимо в совершенстве владеть методикой решения простейших тригонометрических уравнений ; знать табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 90 градусов; знать формулы приведения ; уметь проводить преобразования, используя тригонометрические формулы; переводить радианы в градусы и обратно.

а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку.

а) Преобразуем уравнение (и левую и правую часть по формуле косинуса двойного аргумента):

Произведём замену переменной: пусть cos x = t.

Получили квадратное уравнение 2t 2 + t – 1 = 0.

Изобразим корни на тригонометрической окружности:

б) Первый способ:

Переведём радианы в градусы. Так как Пи радиан это 180 градусов, то отрезок

в градусах будет выглядеть следующим образом: [– 270 0 ; 540 0 ].

Определим корни. Суть подхода: берём произвольные коэффициенты k и подставляем в каждый из корней, далее вычисляем и смотрим – принадлежат ли полученные корни заданному интервалу. Если принадлежат, то отмечаем их как верный ответ.

Ещё раз запишем все полученные (в пункте а) корни:

Таким образом, отрезку [– 270 0 ; 540 0 ] принадлежат корни:

– 180 0 ; – 60 0 ; 60 0 ; 180 0 ; 300 0 ; 420 0 и 540 0

Вопрос: какие «произвольные» коэффициенты k брать?

В пределах от –3 до 3, так как границы заданного интервала в подобных типовых заданиях ЕГЭ обычно лежат «недалеко» от нуля.

Данный способ совершенным назвать нельзя. Но он, безусловно, позволяет находить верное решение. Важно перебрать необходимые значения k и убедиться, что получены все корни принадлежащие данному отрезку.

Для чего углы мы переводили из радианной меры в градусную?

Многим наиболее «понятна» работа с углами в градусной мере.

Суть его заключается в следующем:

1. Берём один из корней.

2. Составляем неравенство (корень принадлежит указанному интервалу).

3. Решаем это неравенство.

4. Находим коэффициент(ы) k

5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в этот корень, и затем вычисляем.

И так поступаем с каждым корнем (полученным в пункте а).

Так как число k целое, то значит k₁ = 0 k₂ = 1

Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:

Так как число k целое, то значит k₁ = 0 k₂ = 1

Вычисляем корни, принадлежащие интервалу:

Так как число k целое, то значит k₁ = – 1, k₂ = 0, k₃ = 1

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

Решение №2551 Решите уравнение sin2x + cos2x = 1

а) Решите уравнение sin2x + cos2x = 1.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-\frac<7\pi ><2>; –2\pi].

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

Используем справочные материалы ЕГЭ (профильный уровень):

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.7 / 5. Количество оценок: 7

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.