Решите уравнение sinx cosx tgx ctgx

Решение задачи 13. Вариант 249

a) Решить уравнение (sinx+cosx)√2=tgx+ctgx

б) Найти корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π;π/2]

Сделаем замену ​ \( sinx+cosx=t \) ​ ​ \( |t|≤2 \) ​

Возведем квадрат обе части

И подставляем это в исходное уравнение

Тут очевидно ​ \( t=\sqrt <2>\) ​

​ \( sinx+cosx=\sqrt <2>\) ​ — решаем простое уравнение методом введения вспомогательного угла, или просто можно догадаться, что ​ \( x=\frac<π><4>+2πn \) ​

Б) Этот пункт очень простой, так как у нас 1 корень, отбираем на окружности или неравенством, в любом случае будет ​ \( x=\frac<π> <4>\) ​

Ответ: а) ​ \( x=\frac<π><4>+2πn \) ​ б) \( x=\frac<π> <4>\) ​

Решение тригонометрических уравнений с помощью подстановок: sinx+cosx=t, sinx-cosx=t, tgx+ctgx=t, tgx-ctgx=t

Разделы: Математика

Классы: 10 , 11

Цели:

1). Образовательные:

• Определение уровня овладения знаниями, повторение решения уравнений, решаемые с помощью вспомогательных аргументов.
• Коррекция знаний, умений, навыков.
• Организовать деятельность, направленную на выполнение постепенно усложняющихся заданий. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью подстановок.
• Учащиеся должны творчески применять знания, учится переносить в новые ситуации, применять в данной теме ранее полученные знания.

2) Развивающие:

• Развивать у учащихся способность самостоятельно применять полученные знания в нестандартных ситуациях.
• Развивать у учащихся творческий подход к предложенным заданиям.
• Развивать у учащихся переносить приобретённые знания в новые условия.

3) Воспитательные задачи:

• Формирование самостоятельности, мыслительной активности.

Ход урока

1. Повторение. Рассмотрение свойств тригонометрических функций, применяемых при решении уравнений.
2. Объяснение нового материала. Рассмотрение уравнений, которые решаются с помощью замены.
3. Закрепление нового материала.
4. Самостоятельная работа.
5. Домашнее задание.

Вместе с учащимися разбираются свойства:

1) Выразить sinx cosx, если известно, что sinx +cosx= 3/4.

(sinx +cosx) 2 = sin 2 x +cos 2 x +2 sinx cosx.

2 sinx cosx = 9/16 — 1= — 7/ 16, следовательно sinx cosx = -7/32.

2) Выразить tg 2 x+ctg 2 x, если tgx+ctgx=3.

9= (tgx+ctgx) 2 = tg 2 x+ctg 2 x + 2tgx ctgx= tg 2 x+ctg 2 x + 2.

Следовательно tg 2 x+ctg 2 x = 7.

Вместе с учащимися разбирается уравнение, в котором используется одно из выведенных свойств.

№ 1. Используем эту подстановку при решении уравнения sin 2 x – 4 sin x = 4 + 4 cos x.

4(sin x + cos x) – 2 sin x cos x +4 = 0.

Введем обозначение: sin x + cos x = t , тогда 2sin x cos x = t 2 -1.

4 t – ( t 2 — 1) + 4 = 0,

Решая квадратное уравнение, получаем t₁ = 5, t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 5

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x + cos x = — 1

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x + sin / 4 * cos x = — / 2;

sin (x + / 4) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем:

x + / 4 = — / 4 + 2n или x + / 4= 5/ 4 + 2 n, где n Z.

Ответ: /2 + 2 n; + 2n, где n Z.

Закрепление уравнений данного типа (у доски — учащийся):

№ 2. 2 cos x – sin 2x = 2 +2 sinx.

2 (sinx – cosx) + 2 sinx + 2 = 0

Введем обозначение: sin x — cos x = t, тогда 2sin x cos x = 1 — t 2 .

Решая квадратное уравнение, получаем: t₁= 3 , t₂ = -1.

1) sin x + cos x = 3. Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1 , ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = — 1.

Применим способ введения вспомогательной переменной.

Разделим почленно данное уравнение на .

cos / 4 * sin x — sin / 4 * cos x = — / 2.

sin ( x — / 4 ) = — / 2.

Решая тригонометрическое уравнение, получаем :

x — / 4 = — / 4 + 2 n или x — / 4 = 5 / 4 + 2 n , где n Z.

Ответ: 2 n ; 3 / 2 + 2 n , где n Z.

№ 3. sin 2x + 3(sin x-cos x ) =5.

Уравнение решается самостоятельно с последующей проверкой.

Применяя данную подстановку, получаем: t 2 — 3t +4 = 0.

t₁ = 2 , t₂ =

sin x + cos x =2.

Нет решения, так как ¦ sin x¦ 1, ¦cos x¦ 1.

2) sin x — cos x = .

Применим способ введения вспомогательной переменной .

Разделим почленно данное уравнение на .

sin ( x — / 4 ) = 1.

x — / 4 = / 2 + 2 n или x = 3/ 4 + 2 n, где n Z .

Ответ: 3/ 4 + 2 n, где n Z .

№ 4. Применим еще одну подстановку.

4tg 2 x+ctg 2 x +6tgx-3 ctg x-8 =0.

4tg 2 x+ctg 2 x – 4 = t 2 , получаем:

2tg x- ctg x = — 4.

2tg x- 1/tg x = — 4

2 tg 2 x+ 4tg x — 1 =0.

t₁ = (-2 + )/2, t ₂ = (-2 — )/2.

х= arc tg (-2 + )/2 + n или х= arc tg (-2 — )/2 + n , где n Z .

Ответ: arctg (-2 + )/2 + n , arctg (-2 — )/2 + n , где n Z .

№ 5. Закрепление темы:

tg 2 x+ctg 2 x -3(tgx+ ctg x) + 4=0.

tg x + ctg x = t, получаем:

Решая квадратное уравнение , получаем: t₁ = — 2 , t₂ = — 1.

tg 2 x- 2tg x + 1 =0,

x = /4 + n, где n Z .

tg x + ctg x = -1 не имеет решения.

Ответ: / 4 + n, где n Z .

№ 6.Решим уравнение (учащиеся решают самостоятельно с последующей проверкой):

2(tgx+ ctg x)= (tg 2 x+ctg 2 x) — 2=0.

Проверка по этапам:

Квадратное уравнение относительно t: t 2 — 2 t = 0.

Корни уравнения: t=0 или t= 2/,

Ответ: n; arc tg(3)/2 + n, где n Z .

Далее рассматриваются более сложные уравнения, содержащие модули.

¦ sin x + cos x¦ = 1+2 sin x.

Применяя подстановку: sin x + cos x = t, получаем: ¦ t¦= t 2 .

Решая уравнения с модулем, получаем:

t = 0 или t= 1 , t = -1.

Далее решаем уже рассмотренные уравнения:

sin x + cos x = 0,

Объединяя решения, получаем ответ:

Ответ: — /4+ n ; /2 n, где n Z .

Далее предлагается учащимся уравнения для самостоятельной проработки:

1) 3 (sin x + cos x ) = 2 sin2 x,

2) 1 + sin2 x = sin x + cos x,

3) sin x + cos x — sin 2x + cos2 x – cos3 x = 1,

4) sin2 x — 5sin x + 5 cos x + 5 = 0,

5) tgx+ ctg x = 3 — sin2 x,

6) 2(sin2 x – cos2 x) = tgx+ ctg x.

Решение данных уравнений разбирается на следующих занятиях.

Задача 30978 (sinx+cosx)sqrt(2) = tgx+ctgx, [-Pi;.

Условие

(sinx+cosx)sqrt(2) = tgx+ctgx, [-Pi; Pi/2]

Решение

Замена переменной
sinx+cosx=t
Возводим в квадрат
sin^2x+2sinx*cosx+cos^2x=t^2
1+2sinx*cosx=t^2 ⇒ sinx*cosx=(t^2-1)/2

Уравнение принимает вид:
sqrt(2)*t=2/(t^2-1)

t-sqrt(2)=0 или t^2+sqrt(2)t+1=0 — нет корней. D=2-4