Решите уравнение способом разложения левой части на множители

Решите уравнение способом разложения левой части на множители

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0.

Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.

Вынесем за скобку икс.

Разобьем уравнение на два простейших.

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей равен нулю.

Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.

Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь .

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

х 2 + 10х — 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х — 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:

х 2 + 6х = х 2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как

х 2 + 2• х • 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения

прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:

х 2 + 6х — 7 = х 2 + 2• х • 3 + 3 2 — 3 2 — 7 = (х + 3) 2 — 9 — 7 = (х + 3) 2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3) 2 — 16 =0, (х + 3) 2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ах • b + b 2 ) — b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b 2 — 4ac,

а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 — 4ac = 7 2 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b 2 — 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х 2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4ac = 0, то уравнение

ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 — 4ac = 3 2 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 , D 2 — 4ac 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х 2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x₁ x₂ = q,

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р 2 – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = — 3 2 + 8x + 7 = 0; x₁ = — 7 и x₂ = — 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0 .

x 2 + 4x – 5 = 0; x₁ = — 5 и x₂ = 1, так как q= — 5 0;