Решите уравнение z 2 3 4i

Комплексные числа по-шагам

Результат

Примеры комплексных выражений

• Деление комплексных чисел
• Умножение комплексных чисел
• Комплексные уравнения
• Возведение комплексного числа в степень
• Корень из комплексного числа

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Калькулятор для решения комплексных чисел.
Сумма, разность, произведение и частное комплексных чисел.
Вычислить n-ую степень и корень n-ой степени.

С помощью данного калькулятора вы можете сложить, вычесть, умножить, и разделить комплексные числа.
Программа решения комплексных чисел не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Комплексное число состоит из двух частей — действительной и мнимой.
Первое поле ввода — для действительной части, второе — для мнимой.
Для правильного ввода комплексного числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.

Числа в действительную или мнимую части можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так + i

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: + i
Результат: \( -\frac<2> <3>— \frac<7> <5>\cdot i \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: + i
Результат: \( -1\frac<2> <3>+ 5\frac<8> <3>\cdot i \)

Введите действительную и мнимую части чисел \( z_1 \) и \( z_2 \).
У каждого числа нужно ввести как минимум одну часть — действительную или мнимую.
Вычислить сумму, разность, произведение и частное

Немного теории.

Понятие комплексного числа

Определение.
Комплексными числами называют выражения вида \(а + bi\) где \(a\) и \(a\) — действительные числа, а \(i\) — некоторый символ, для которого по определению выполняется равенство \( i^2=-1 \).

Название «комплексные» происходит от слова «составные» — по виду выражения \(а + bi\). Число \(а\) называется действительной частью комплексного числа \(а + bi\), а число \(b\) — его мнимой частью. Число \(i\) называется мнимой единицей.
Например, действительная часть комплексного числа \(2-3i\) равна \(2\), мнимая часть равна \(-3\).
Запись комплексного числа в виде \(а + bi\) называют алгебраической формой комплексного числа.

Равенство комплексных чисел

Определение.
Два комплексных числа \(a + bi\) и \(c + di\) называются равными тогда и только тогда, когда \(a =c\) и \(b =d\), т. е. когда равны их действительные и мнимые части.

Сложение и умножение комплексных чисел

Операции сложения и умножения двух комплексных чисел определяются следующим образом.

Определения.
Суммой двух комплексных чисел \(a+ bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (a+c) + (b+d)i \), т.е. \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \).

Произведением двух комплексных чисел \(a + bi\) и \(c + di\) называется комплексное число \( (ac — bd) + (ad + bc)i \), т. е.
\( (a + bi)(с + di) = (aс-bd) + (ad + bc)i \).

Из двух предыдущих формул следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами. Поэтому нет необходимости запоминать эти формулы, их можно получить по обычным правилам алгебры, считая, что \( i^2=-1 \).

Основные свойства сложения и умножения комплексных чисел

1. Переместительное свойство
\( z_1 + z_2 = z_2 + z_1 \),
\( z_1z_2 = z_2z_1 \)

2. Сочетательное свойство
\( (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) \),
\( (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) \)

3. Распределительное свойство
\( z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3 \)

Комплексно сопряженные числа

Определение.
Сопряженным с числом \(z = a + bi\) называется комплексное число \(a -bi\), которое обозначается \( \overline \), т. е.
\( \overline = \overline = a-bi \)

Например :
\( \overline <3 + 4i>= 3-4i \),
\( \overline <-2-5i>= -2+5i \),
\( \overline = -i \)

Отметим, что \( \overline = a+bi \), поэтому для любого комплексного числа \(z\) имеет место равенство
\( \overline<(\overline)> = z \)
Равенство \( \overline = z \) справедливо тогда и только тогда, когда \(z\) — действительное число.

Модуль комплексного числа

Определение.
Модулем комплексного числа \(z = a + bi\) называется число \( \sqrt \), т.е.
\( |z|=|a+bi| = \sqrt \)

Из данной формулы следует, что \( |z| \geqslant 0 \) для любого комплексного числа \(z\), причем \(|z|=0\) тогда и только тогда, когда \(z=0\), т.е. когда \(a=0\) и \(b=0\).

Вычитание комплексных чисел

Определение.
Комплексное число \( (-1)z \) называется противоположным комплексному числу \(z\) и обозначается \(-z\).
Если \(z = a + bi\), то \(-z = -a — bi\)
Например : \( -(3-5i) = -3+5i \)
Для любого комплексного числа \(z\) выполняется равенство
\( z+(-z) = 0 \).

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) существует, и притом только одно, число \(z\), такое, что
\( z + z_2 = z_1 \),
т.е. это уравнение имеет только один корень.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: для любых комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) существует, и притом только одно, число \( z \), такое, что \( z \cdot z_2=z_1 \) т.е. это уравнение относительно z имеет только один корень, который называется частным чисел \( z_1 \) и \( z_2 \) и обозначается \( z_1:z_2 \), или \( \frac \), т.е. \( z=z_1:z_2 = \frac \)

Комплексное число нельзя делить на ноль.

Частное комплексных чисел \( z_1 \) и \( z_2 \neq 0 \) можно найти по формуле
$$ \frac = \frac> <|z_2|^2>$$

Каждое комплексное число \(z\), не равное нулю, имеет обратное ему число \(w\), такое, что \(z \cdot w = 1\), где
$$ w= \frac<1> = \frac-\fraci $$

Если \( z_1 = a_1 + b_1i \; , \; z_2 = a_2 + b_2i \), то формулу частного комплексных чисел можно представить в виде
$$ \frac = \frac= \frac<(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)> = \frac+ \fraci $$

Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Комплексная плоскость

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число \(a + bi\) можно рассматривать как пару действительных чисел \((a; b)\). Поэтому естественно комплексные числа изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число \(z = a + bi\) изображается точкой плоскости с координатами \((a; b)\), и эта точка обозначается той же буквой \(z\).

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу \(a + bi\) соответствует одна точка плоскости с координатами \((a; b)\) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами \((a; b)\) соответствует одно комплексное число \(a + bi\). Поэтому слова «комплексное число» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы. Так, вместо слов «точка, изображающая число \(1 + i\)» говорят «точка \(1 + i\)». Можно, например, сказать «треугольник с вершинами в точках \(i, \; 1+i, \; -i \)».

При такой интерпретации действительные числа \(a\), т.е. комплексные числа \(a+0i\), изображаются точками с координатами \((a; 0)\), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью.
Чисто мнимые числа \(bi = 0+bi\) изображаются точками с координатами \((0; b)\), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами \((0; b)\) обозначается \(bi\).
Например, точка \((0; 1)\) обозначается \(i\), точка \((0; -1)\) — это \(-i\) , точка \((0; 2)\) — это точка \(2i\).
Начало координат — это точка \(O\).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки \(z\) и \(-z\) симметричны относительно точки \(O\) (начала координат), а точки \( z \) и \( \overline \) симметричны относительно действительной оси.

Комплексное число \(z = a+bi\) можно изображать вектором с началом в точке \(O\) и концом в точке \(z\). Этот вектор будем обозначать той же буквой \(z\), длина этого вектора равна \(|z|\).

Число \( z_1 + z_2 \) изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов \( z_1 \) и \( z_2 \) а вектор \( z_1 — z_2 \) можно построить как сумму векторов \( z_1 \) и \( -z_2 \).

Геометрический смысл модуля комплексного числа

Выясним геометрический смысл модуля комплексного числа \(|z|\). Пусть \(z = a+bi\). Тогда по определению модуля \( |z|= \sqrt \). Это означает, что \(|z|\) — расстояние от точки \(O\) до точки \(z\).

Например, равенство \(|z| = 4\) означает, что расстояние от точки \(O\) до точки \(z\) равно \(4\). Поэтому множество всех точек \(z\), удовлетворяющих равенству \(|z| = 4\), является окружностью с центром в точке \(O\) радиуса \(4\). Уравнение \(|z| = R\) является уравнением окружности с центром в точке \(O\) радиуса \(R\), где \(R\) — заданное положительное число.

Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел

Выясним геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, т.е. \( |z_1-z_2| \).
Пусть \( z_1 = a_1+b_1i, \; z_2 = a_2+b_2i \)
Тогда \( |z_1-z_2| = |(a_1-a_2) + (b_1-b_2)i| = \sqrt <(a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2>\)

Из курса геометрии известно, что это число равно расстоянию между точками с координатами \( (a_1;b_1) \) и \( (a_2;b_2) \).

Итак, \( |z_1-z_2| \) — расстояние между точками \( z_1 \) и \( z_2 \).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргумент комплексного числа

Определение
Аргумент комплексного числа \( z \neq 0 \) — это угол \( \varphi \) между положительным направлением действительной оси и вектором \(Oz\). Этот угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке.

Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа \(z = a + bi\), его модулем \(r=|z|\) и аргументом \( \varphi \) выражается следующими формулами:
\( \left\< \begin a=r \cos \varphi \\ b=r \sin \varphi \end \qquad (1) \right. \)

Аргумент комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z \neq 0 \) ) можно найти, решив систему (2). Эта система имеет бесконечно много решений вида \( \varphi =\varphi_0+2k\pi \), где \( k\in\mathbb , \;\; \varphi_0 \) — одно из решений системы (1), т.е. аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента комплексного числа \(z = a+bi\) ( \( z\neq 0 \) ) можно воспользоваться формулой
\( tg \varphi = \large \frac \normalsize \qquad (3) \)

При решении уравнения (3) нужно учитывать, в какой четверти находится точка \(z = a+bi\).

Запись комплексного числа в тригонометрической форме

Из равенства (1) следует, что любое комплексное число \(z = a+bi\), где \( z\neq 0 \), представляется в виде
\( z = r(\cos\varphi +i\sin\varphi ) \qquad (4) \)
где \( r=|z|=\sqrt \) — модуль комплексного числа \(z\), \( \varphi \) — его аргумент. Запись комплексного числа в виде (4), где \(r>0\), называют тригонометрической формой комплексного числа \(z\).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы записи комплексных чисел удобно находить произведение и частное комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\). Если два комплексных числа записаны в тригонометрической форме :
\( z_1 = r_1(\cos\varphi_1 +i\sin\varphi_1), \quad z_2 = r_2(\cos\varphi_2 +i\sin\varphi_2) \) то произведение этих комплексных чисел можно найти по формуле:
\( z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2) +i\sin(\varphi_1+\varphi_2)) \)

Из этой формулы следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула для нахождения частного комплексных чисел:
$$ \frac = \frac(\cos(\varphi_1-\varphi_2) +i\sin(\varphi_1-\varphi_2)) $$

Из этой формулы следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Формула Муавра

Для любого \( n \in \mathbb \) справедлива формула
$$ z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi) ) $$
которую называют формулой Муавра.