Решите уравнения с параметрами контрольная работа

Контрольная работа: Уравнения, содержащие параметр

Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью

Научное общество учащихся «Поиск»

Муниципального образовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»

Научное направление: «Математика»

Уравнения, содержащие параметр

Соколова Александра Михайловна

ученица 10 класса МОУ

Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,

1. Знакомство с параметрами

1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

1.2 Решение линейных уравнений с модулем

1.3 Решение квадратных уравнений

2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С

В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.

Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.

Цель моей работы — научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.

2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.

3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.

В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:

1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;

2) решение линейных уравнений с модулем;

3) решение квадратных уравнений.

уравнение параметр неизвестное модуль

1. Знакомство с параметрами

Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.

Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);

2) получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым.

Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, — это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).

К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения переходят к у равнению ; при m=записывают единственное решение . Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.

Пример 1. Решить уравнение .

Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:

1) a=1, тогда уравнение принимает вид и не имеет решений;

2) при а=-1 получаем и, очевидно, х любое;

3) при .

Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .

Пример 2. Решить уравнение

Очевидно, что , а , то есть х=b/2, но , то есть 2b/2, b4.

Ответ: при b4 х=b/2; при b=4 нет решений.

Пример 3. При каких а уравнение имеет единственное решение?

Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 , , а=1, а=6.

Ответ: при а=2, а=1, а=6.

1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным

Решить такое уравнение – это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

При уравнение имеет единственное решение , которое будет: положительным, если или ; нулевым, если ; отрицательным, если или .

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение ; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:

а-1-х=0 а=х+1

Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.

Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а 1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых .

Приведём уравнение к простейшему виду:

Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) , получим:

.

Если подставим , то получим так же .

Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. — это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).

1. Если , то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение , которое будет:

а) положительным, если , при 4 9 с учётом

, получаем .

2. Если , то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x 0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b 0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

1) a;

2) 4.

1. Первый интервал:

;

, т.е. если а 4,т.е. если 4 0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с 0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а -1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a 1 D 0 и данное уравнение имеет два различных корня

; .

Ответ: и при a При а2 х= -3

При а=2 .

3.

=> При а -2 х= -3

При а= -2 .

Ответ: 1. при

2. при а2 х= -3

при а=2 .

3. при а -2 х= -3

при а= -2 .

Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.

Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.

Контрольная работа «Уравнения с параметрами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Контрольнaя рaботa «Урaвнения с пaрaметрaми»

1) При кaком знaчении пaрaметрa a урaвнение имеет единственный корень:

2) При кaких знaчениях пaрaметрa a урaвнение имеет более одного решения?

3) При кaких знaчениях a урaвнение имеет бесконечно много корней?

1) При кaком знaчении пaрaметрa a урaвнение имеет единственный корень:

2) При кaких знaчениях пaрaметрa a урaвнение a ( a -2) x 2 +(2 a -4) x +3 a -6=0 имеет более одного решения?

3) При кaких знaчениях a урaвнение имеет бесконечно много корней?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 569 127 материалов в базе

Другие материалы

• 08.02.2021
• 102
• 5

• 08.02.2021
• 55
• 0

• 08.02.2021
• 212
• 13

• 08.02.2021
• 84
• 0

• 08.02.2021
• 154
• 3

• 08.02.2021
• 229
• 7

• 08.02.2021
• 166
• 4

• 08.02.2021
• 504
• 32

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 08.02.2021 257
• DOCX 13.4 кбайт
• 5 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Кинзябулатова Альбина Альтафовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 7523
• Всего материалов: 23

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа по математике по теме «Уравнения с параметрами» ( 9 класс)

Контрольная работа по теме «Уравнения с параметрами»

Задание 1. Решить уравнение x-a = 2x+3a — 1

Решение: Установим область определения уравнения:

Решая данное уравнение, члены, содержащие х, переносим в одну часть уравнения, а не содержащие x – в другую.

2x-x = -a – 3a+1 x = 1 – 4a

Ответ: если , то x = 1 – 4a

Задание 2. При каких значениях параметра a уравнение

a(a-2)x2+(2a-4)x+3a-6=0 имеет более одного решения?

Решение: Установим область определения уравнения:

При a=0 получаем уравнение -4х-6=0. Оно имеет единственное решение.

При а=2 получаем уравнение 0•х=0 => .

При а≠2 и а≠0 имеем квадратное уравнение.

D1 = (a-2)2 – a(a-2)•3•(a-2)= (a-2)2 (1-3a). Для того, чтобы уравнение имело более одного решения надо потребовать, чтобы D>0.

Ответ: при уравнение имеет более одного решения.

Задание 3. Решите уравнение .

Решение: Найдем значения, при которых х  а, то есть.

Задание 4. При каких значениях a уравнение имеет единственное решение?

Решение: Установим область определения уравнения .

Решив уравнение — следствие получим . Корни этого уравнения x1=a, x2= — 2a.

Узнаем при каких значениях параметра a x1= x2, т е a = — 2a => a=0. Значит, при a=0 уравнение имеет единственное решение x=0.

x1=1: a=1, тогда x2= — 2.

х2=1: 2a=1 => , тогда .

x1=2: a=2, тогда x2= — 4.

х2=2: a= -1, тогда x1= — 1.

Ответ: a= -1; , a=0; a=1; a=2.

Задание 5. Постройте график функции и определите, при каких значениях параметра с прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку

Решение: Разложим числитель дроби на множители:

При х ≠ — 2 и х ≠ 3 функция принимает вид:

График этой функции –парабола, ветви которой направлены вверх. Из параболы выколоты точки (- 2;4) и (3;6).

Прямая y=c имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину парболы, либо когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых – выколотая. Вершина параболы имеет координаты ( — 0,5;6,25) (рис.6).

Ответ: при с=-6,25, при с= -4 и при с=6 прямая y=с имеет ровно одну общую точку.

Полезно? Поделись с другими:

Просмотров: 132 Скачиваний: 54

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Посмотрите также:

Учебно-методические пособия и материалы для учителей, 2015-2022
Все материалы взяты из открытых источников сети Интернет. Все права принадлежат авторам материалов.
По вопросам работы сайта обращайтесь на почту [email protected]