Решите в натуральных числах уравнение х2 3у 29

Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29?

Математика | 5 — 9 классы

Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29.

Y = (x² — 29) / 3 = (x² + 1 — 30) / 3

если x² + 1 делится на 3 то и все выражение тоже делится на 3

х может делиться на 3 или не делиться на 3

если х делится на 3 то его можно записать х = 3к

если число не делится на 3 то его можно записать либо х = 3к + 1, либо 3к — 1

так как из трех последовательных натуральных чисел одно делится на 3 , можно также сказать что если число делится на 3 то два последующих и 2 предыдущих не делятся

х² + 1 = (3к)² + 1 , так как (3к)² делится на 3 то (3к)² + 1 не делится на 3 так как оно следующее после делящегося на 3

2) если х = 3к + — 1 то (3к + — 1)² + 1 = 9к² + — 6к + 1 сумма первых двух делится на 3 значит все выражение не делится на 3

⇒ х² + 1 не делится на 3 при любом натуральном х, ⇒ х² + 1 — 30 не делится на 3⇒x² — 29 не делится на 3⇒

уравнение x² — 3у = 29 не имеет решений в натуральных числах.

Как перевести натуральное число 1 в обыкновенную дробь?

Как перевести натуральное число 1 в обыкновенную дробь?

Помогите пожалуйста, надо решить, а для этого перевести.

Пожалуйста помогите решить задачу?

Пожалуйста помогите решить задачу!

При деление числа 402 на натуральный делитель получается остаток 17, а при делении числа 257 на тот же натуральный делитель получается остаток 12.

Найдите натуральный делитель.

Решите уравнение m2 — 3m — 7 = n2 — 6n в натуральных числах?

Решите уравнение m2 — 3m — 7 = n2 — 6n в натуральных числах.

Решить с пощью уравнения верно ли что можно число 49275 в виде суммы 11 натуральных чисел и числа 48010?

Решить с пощью уравнения верно ли что можно число 49275 в виде суммы 11 натуральных чисел и числа 48010.

Решите в натуральных числах уравнение y(x + 1) ^ 2 = 128x?

Решите в натуральных числах уравнение y(x + 1) ^ 2 = 128x.

Какие из высказываний верны а какие неверны?

Какие из высказываний верны а какие неверны.

1. сумма двух натуральных чисел есть число натуральное.

2. разность двух натуральных чисел есть число натуральное.

3. произведение двух натуральных чисел есть число натуральное.

4. частное двух натуральных чисел есть число натуральное.

Решите пожалуйста очень надо!

Решите в натуральных числах уравнение x / 2 ^ x + y / 2 ^ y = z / 2 ^?

Решите в натуральных числах уравнение x / 2 ^ x + y / 2 ^ y = z / 2 ^.

Пусть А — множеству всех нечетных натуральных делителей числа 20, В — множество всех натуральных делителей числа 30?

Пусть А — множеству всех нечетных натуральных делителей числа 20, В — множество всех натуральных делителей числа 30.

Верно ли : помогите пожалуйста помогите.

Укажите число, которое может, быть остатком при делении натурального числа А на 98?

Укажите число, которое может, быть остатком при делении натурального числа А на 98

Помогите пожалуйста решить задачу сумма трех последовательных натуральных чисел равна 120 найдите эти числа?

Помогите пожалуйста решить задачу сумма трех последовательных натуральных чисел равна 120 найдите эти числа.

На этой странице находится вопрос Помогите пожалуйста) Решите в натуральных числах уравнение х ^ 2 — 3у = 29?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Неопределённые уравнения в натуральных числах

Неопределённые уравнения в натуральных числах.

ГУО”Речицкий Районный Лицей”

1.Решение уравнений методом разложения на множители…………4

2.Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)…………………………………………………………………….11

3.Метод остатков. 13

4.Метод «бесконечного спуска». 15

Я — Слава учусь в Речицком Районном Лицее, учащийся 10 класса.

Всё начинается с идеи! Мне предложили решить уравнение с тремя неизвестными 29х+30у+31 z =366. Теперь я это уравнение расцениваю как задачу – шутку, а в первый раз поломала голову. Для меня это уравнение стало своего рода неопределенным, как его решать, каким способом.

Под неопределёнными уравнениями мы должны понимаем, что это уравнения, содержащие более одного неизвестного. Обычно, люди, которые решают эти уравнения, ищут решения в целых числах.

Решение неопределённых уравнений – это очень увлекательное и познавательное занятие, способствующее формированию у учащихся сообразительности, наблюдательности, внимательности, так же развитию памяти и ориентации, умению логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать. Общей методики я пока не нашла, но об некоторых приёмах решения таких уравнений в натуральных числах сейчас я вам расскажу.

Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи предлагаются на олимпиадах и на централизованном тестировании. Это меня заинтересовало и увлекло настолько, что решая разные уравнения и задачи, у меня собралась целая коллекция собственных решений, которые с учителем мы разбили по методам и способам решения. И так какая же моя цель работы?

Моя цель разобрать решения уравнений с несколькими переменными на множестве натуральных чисел.

Для начала мы рассмотрим практические задачи, а после перейдем к решению уравнений.

Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

S = ху, х€ N и у€ N

2х+2у=ху, + =

+ =

Найти способы уплаты 47 рублей, если для этого можно использовать только трёх и пятирублевые купюры.

х=1 – 3К, у= 14+5К, К€ Z

Натуральные значения х и у соответствуют К= 0, -1, -2;

Докажите, что существует решение уравнения 29х+30у+31 z =336 в натуральных числах.

В високосном году 366 дней и один месяц – 29 дней, четыре месяца — 30 дней,

7 месяцев – 31 день.

Решением является тройка (1:4:7). Это означает, что существует решение уравнения в натуральных числах.

1. Решение уравнений методом разложения на множители

1) Решите уравнение х2-у2=91 в натуральных числах

Решение 8 систем

х-у=1

х-у=91

х-у=13

х-у =7

х-у= -1

х-у = -91

х-у = -13

х-у = -7

2) Решите уравнение х3+91 =у3 в натуральных числах

Решение 8 систем

у-х=1

у-х= 91

не имеет решений в целых числах

у-х=13

не имеет решений в целых числах

Остальные 4 системы не имеют решений в целых числах. Условию удовлетворяет одно решение.

3) Решить уравнение ху=х+у в натуральных числах

Решение 2 системы

у-1= -1

у-1=1

4) Решить уравнение 2х2+5ху-12у2=28 в натуральных числах

х;у – натуральные числа; (х+4у)€ N

2х-3у=1

2х-3у =4

нет решений в натуральных числах

нет решений в натуральных числах

5) Решить уравнение 2ху= х2+2у в натуральных числах

х-2у+1= -1

(2:2)

нет решений в натуральных числах

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +4=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2 z +6-2=0

ху( z -3)-2 x ( z -3)+ y ( z -3)-2( z -3)=2

Решение 6 систем

z -3= 1

z-3= -1

z-3= 1

z-3=2

z-3= -1

z -3=2

Рассмотрим более сложное для меня уравнение.

7) Решить уравнение х2-4ху-5у2=1996 в натуральных числах

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

х€ N , у€ N ; (х+у)€ N ; (х+у)>1

х-5у=1

х-5у=499

х-5у=4

нет решений

х-5у=988

Сделаем вывод: при решении уравнений методом разложения на множители применяются формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

2. Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)

1)Решить уравнение 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0 в натуральных числах

Д= (8у – 2)2 – 4*5*(5у2+2у+2)= 4((4у – 1)2 –5*(5у2+2у+2))

х1,2= =

Д=0, =0

Ответ: решений нет.

2) Решить уравнение 3(х2+ху+у2)=х+8у в натуральных числах

≤у≤

у€ N , у=1, 2, 3.Перебирая эти значения, имеем (1:1).

3)Решите уравнение х4-у4-20х2+28у2=107 в натуральных числах

Вводим замену : х2=а, у2=а;

а1,2=-10± +96

а1,2=10± = 10± = 10±(а-14)

Уравнение имеет вид:

х2-у2+4=1

нет решений в натуральных числах;

х2 — у2+4= -1

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

х2+у2 – 24= -1 нет решений в натуральных и целых числах Ответ: (4:3),(2:3).

При решении уравнений методом остатков очень часто используют задачи:

А) Какие остатки могут давать при делении на 3и 4?

Всё очень просто, при делении на 3 или 4 точные квадраты могут давать два возможных остатка: 0 или 1.

Б) Какие остатки могут давать точные кубы при делении на 7 и 9?

При делении на 7 могут давать остатки: 0, 1, 6; а при делении на 9: 0, 1, 8.

1) Решить уравнение х2+у2=4 z -1 в натуральных числах

Рассмотрим, какие остатки могут давать при делении на 4 левая и правая части этого уравнения. При делении на 4 точные квадраты могут давать только два различных остатка 0 и 1. Тогда х2+у2+1 при делении на 4 дают остатки 1, 2, 3, а 4 z делится без остатка.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2) Решите уравнение 1!+2!+3!+ …+х!= у2в натуральных числах

a) Х=1, 1!=1, тогда у2=1, у=±1 (1:1)

b) х=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, то есть у2= 9, у=±3 (3:3)

c) х=2, 1!+2!= 1+2= 3, у2=3, то есть у=±

d) х=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, х=4 (нет), у2=33

e) х≥5, 5!+6!+…+х!, представим 10 n , n € N

Число, оканчивающееся цифрой 3, означает, что оно не может быть квадратом целого числа. Следовательно, х≥5, не имеет решений в натуральных числах.

3) Доказать, что нет решений в натуральных числах

Предположим, что система разрешима z 2 =2у2+1, z 2 – нечётное число

y 2 +2 m 2 +2 m , у2 – чётное число, у = 2 n , n € N

х2=8 n 3 +7, то есть х2 – нечётное число и х нечётное, х = 2 r +1, n € N

Подставим х и у в первое уравнение,

2( r 2 + r -2 n 3 )=3

Не возможно, так как левая часть уравнения делится на два, а правая не делится, значит, наше предположение не верно, то есть система не имеет решений в натуральных числах.

4. Метод бесконечного спуска

Решаем по следующей схеме:

Предположим, что уравнение имеет решение, мы строим некий бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чётном шаге закончиться.

1) Докажите, что уравнение 8х4+4у4+2 z 4 = t 4 не имеет решений в натуральных числах

Допустим, что уравнение имеет решение в целых числах, тогда следует, что

t 4 – чётное число, тогда t – тоже чётное

8х4+4у4+2 z 4 = 16t14

4х4+2у4+ z 4 = 8t14

z 4 =8t14 — 4х4 — 2у4

z 4 – чётное, тогда z =2 z 1 , z 1 € Z

4х4+2у4+16 z 4 =8t14

у4= 4t14 – 2х4 — 8 z 1 4

х – чётное, то есть х=2х, х1€ Z , тогда

16х14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8х14+4у14+2 z 1 4 = t 1 4

И так х, у, z , t – чётные числа, тогда х1, у1, z 1 , t 1 – чётные. Тогда х, у, z , t и х1, у1, z 1 , t 1 делятся на 2, то есть , , , и , , , .

Итак, оказалось, что число, удовлетворяет уравнение; кратны 2, и сколько раз мы не делили бы их на 2, всегда будем получать числа, кратные 2. Единственное число, удовлетворяет этому условию – нуль. Но нуль не принадлежит множеству натуральных чисел.

1) Найти решения уравнения + =

=

Решение 6 систем

у-р= р

у=2р, х=2р

у=0, х=0

у=1+р, х=1+р

у-р= р2

у-р= — р2

Обычно решения неопределённых уравнений ищут в целых числах. Уравнения, в которых ищут только целочисленные решения, называют диафантовыми.

Я разобрал решения уравнений с числом неизвестных больше одного, на множестве натуральных чисел. Такие уравнения настолько разнообразны, что вряд ли существует какой-либо способ, алгоритм их решения. Решение таких уравнений требует изобретательность и способствует приобретению навыков самостоятельной работы в математики.

Я решал примеры простейшими приёмами. Простейшим приём решений таких уравнений в том, чтобы выразить одну переменную через остальные, и получится выражение, которое мы будем исследовать, с целью нахождения этих переменных, при которых оно является натуральным (целым).

При этом, используется понятия и факты, связанные делимостью, — такие, как простые и составные числа, признаки делимости, взаимно простые числа и др.

Особенно часто применяются:

1) Если произведение делится на простое число р, то хотя бы один из его сомножителей делится на р.

2) Если произведение делится на некоторое число с и один из сомножителей взаимно простое с числом с, то второй множитель делится на с.

Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Решение уравнений в целых числах

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

Учитель математики высшей категории

С. Высокая Гора – 2015 г.

Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:

• способ перебора вариантов;
• применение алгоритма Евклида;
• применение цепных дробей;
• разложения на множители;
• решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
• метод остатков;
• метод бесконечного спуска;
• оценка выражений, входящих в уравнение.

В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения

1. Способ перебора вариантов.

Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602.

Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то

х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7.

2. Применение алгоритма Евклида. Теорема.

Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0.

Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами:

y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел.

Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19

Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда

5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0,

5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ).

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k.

Значит, общее решение:

х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k ,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число.

Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12.

Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел

x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число,

или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем

х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число.

Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число.

3. Метод остатков.

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.

Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333;

Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1).

Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y .

Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y .

Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Ответ: целочисленных решений нет.

Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1)

Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).

Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду

x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2)

Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим:

27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда

9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3)

следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда

3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4)

В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3.

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным.

Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение

х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у .

Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х .

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x :

x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0

D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2

Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.

-36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.

5. Разложение на множители .

Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7.

Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2 y = 7, x + y = 1;

2) x – 2 y = 1, x + y = 7;

3) x – 2 y = –7, x + y = –1;

4) x – 2 y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение. Перепишем уравнение в виде:

у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91.

Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91

Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.

Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy .

Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1)

x + y – xy – 1 = – 1

Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1

Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения.

Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x — y )( y — z )( z — x ) = 10

Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

6. Метод бесконечного спуска.

Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39.

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5.

Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим:

Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную

Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен.

Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x :

z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v .

Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v.

7. Оценка выражений, входящих в уравнение.

Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху

Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение.

И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:

Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,

тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2.

Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.

Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах

x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100

Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .