Решите в целых числах уравнение решение онлайн

Линейные диофантовы уравнения онлайн

Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:

В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.

Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.

Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:

Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:

Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.

Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :

а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:

Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .

Преобразуем данную дробь в цепную дробь:

В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :

Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:

Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:

Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :

Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:

Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Калькулятор решает линейные диофантовы уравнения с двумя переменными.

Сначала калькулятор, теория под ним.

Линейные диофантовы уравнения с двумя переменными

Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе).
Если числа a и b неотрицательны, тогда с помощью расширенного алгоритма Евклида мы можем найти их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты и , что:
.

Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.

То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение:

т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:

Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно.

Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество.

Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие:
.

Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства:

Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида:

,
где k принадлежит множеству целых чисел, являются множеством всех решений диофантова уравнения.

Как решить в целых числах уравнение по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Целые уравнения представляют собой уравнения, у которых в левой и правой части выражения целого типа. Данного рода уравнения являются одними из самых простых, поскольку решаются одним способом.

Пример уравнения данного вида — \[2x + 16= 8x — 4\]. Приведенный пример решается довольно просто, поскольку все, что необходимо сделать для его решения — перенести числа из одной части в другую. Выполнив эти простые действия, у вас должно получиться уравнение, где в одной части находятся все переменные, а в другой — все числа. Однако выполнять перенос необходимо с учетом правила — переносить числа с \[\div\] и \[\cdot \] нельзя, если же вы переносите числа с «+/-«, то после переноса вы меняете знак на противоположный. Вернувшись к нашему примеру и придерживаясь вышеописанных правил, решение данного управления сводится к следующему:

До переноса: \[-2x + 16 = 8x — 4\]

После переноса: \[-6x = -20\]

Далее производим деление правой стороны на левую и получаем следующий результат: \[x = \sim 3.3\]

Приведенный выше пример относится к базовому уровню, однако в уравнения данного типа входят и другие уравнения, сложность которых намного выше, например, квадратные, биквадратные, линейные уравнения.

Где можно решить целое уравнение онлайн?

Решить в целых числах уравнение онлайн любого вида вы можете с помощью нашего сайта https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!