Решите задачу составив уравнение двумя способами

Урок по математике «Решение задач разными способами»

Тема “Решение задач разными способами”

Вид: закрепление умения решать задачи на основе расширения способа действия.

Цели:

• научить решать задачи арифметическим и алгебраическим способом;
• научить решать усложненные уравнения.

Ход урока

1. Орг. момент.

Эмоционально-психологический настрой на урок. (Цель: создать эмоционально-психологический контроль)

Мне вспомнилась одна пословица “Корень ученья горек, да плод его сладок”. Как вы понимаете эту пословицу?

Она очень подходит к нашему уроку и вы это поймете.

2. Сообщение темы и цели урока.

— Тема нашего урока “Решение задач разными способами”

— Запишите число и тему урока.

3. Актуализация знаний.

— Мы с вами уже решали очень много самых разных задач, а сегодня я предлагаю вам решить необычные задачи, а задачи в которых есть буквенное значение.

(Дети записывают решение в тетради.)

1. В зале занято 6 рядов по в мест. Сколько мест занято?
2. А сколько свободных мест, если в зале а мест?
3. Длина прямоугольника 8 см. Найдите периметр квадрата.
   — Можно решить эту задачу? (Эта задача требует пояснения при решении. Если прямоугольник является квадратом, то задача имеет решение, а если нет, то задачу решить нельзя)
4. Скоро Новый Год и я предлагаю вам задание составить задачу с такими данными.Масса подарка 800 граммов.

4. Решение задачи.

Для ремонта школы привезли в одинаковых банках 90 кг зеленой краски и 180 кг белой краски. Зеленой краски было 18 банок. Сколько купили банок с белой краской?

Работа над задачей идет по плану:

• 1 этап – восприятие задачи.
• 2 этап – поиск плана решения (прикидка ответа)
• 3 этап – выполнение плана.
• 4 этап – проверка (сравнить с прикидкой)

1 способ.

1) 90 : 18 = 5 (кг) – в 1 банке.

2 способ.

1) 180 : 90 = 2 (раза) – во сколько раз за белую краску заплатили больше, чем за зеленую.

2) 18 х 2 = 36 (банок.)

— Ребята, что обозначает часть или целое число 90? 18? 180?

— Где мы еще с вами можем встретить часть и целое? (В уравнении)

5. Физминутка.

Если неизвестное число находится сложением – приседаете,

Вычитанием – руки вверх,

Делением – руки вперед.

А – 7 = 18	35 : а = 7	а + 6 = 10
30 – а = 13	а : 12 = 5	а х 4 = 24

— Назовите уравнения, где а – целое.

Решите уравнения второго столбика (по вариантам)

— Ребята, а что такое уравнение?

— А попробуйте теперь решить в паре такое уравнение:

6. Расширение способа действия.

— Мы с вами решали задачу двумя способами. Это были арифметические способы решения. А давайте попробуем решить эту задачу еще одним способом – с помощью уравнения.

— Что мы возьмем за х?

— Вы уже говорили, что уравнение это равенство. Какая величина в нашей задаче равна, одинаковая?

— Исходя из этих данных составьте в группах уравнение по этой задаче. (180 : х = 90 : 18)

— Молодцы! Это алгебраический способ решения задачи.

7. РРО.

— Мы с вами уже решали задачи разными способами, а сейчас попробуйте записать решение задачи в виде уравнения.

Уровень 1.

Реши задачу, составив уравнение.

На крыше сидело 7 голубей. Когда к ним прилетело еще несколько, их стало 15. Сколько голубей прилетело?

Уровень 2.

Реши задачу, составив уравнение.

В 7 одинаковых коробках 21 кг винограда. Сколько килограммов винограда в 4 таких же коробках?

8. Итог урока.

— Разрешите закончить наш урок, задав вам несколько вопросов.

— С чем мы сегодня познакомились на уроке?

Чему вы научились?

9. Домашнее задание.

1 уровень. Найдите в учебнике задачи, которые можно решить уравнением.

2 уровень. Составьте 2 задачи, которые можно решить уравнением – простым и усложненным.

ГДЗ задачник по математике 6 класс Бунимович. Решение уравнений и задач с помощью уравнений. Номер №497

Решите задачу, составив уравнение:
а) В спортивной секции занимаются 30 ребят, причем мальчиков на 12 больше, чем девочек. Сколько девочек и сколько мальчиков в этой секции?
б) За два разных журнала Игорь заплатил 56 р. Один из них дешевле другого на 6 р. Сколько стоит каждый журнал?

Решение а

Пусть x ( девочек) − занимается в спортивной секции, тогда:
x + 12 (мальчиков) − занимается в спортивной секции.
Так как, в спортивной секции занимаются 30 ребят, то:
x + x + 12 = 30
2 x = 30 − 12
2 x = 18
x = 18 : 2
x = 9 (девочек) − занимается в спортивной секции;
x + 12 = 9 + 12 = 21 (мальчик) − занимается в спортивной секции.
Ответ: 9 девочек и 21 мальчик

Решение б

Пусть x ( р.) − стоит более дешевый журнал, тогда:
x + 6 (р.) − стоит более дорогой журнал.
Так как, за два разных журнала Игорь заплатил 56 р, то:
x + x + 6 = 56
2 x = 56 − 6
2 x = 50
x = 50 : 2
x = 25 (р.) − стоит более дешевый журнал;
x + 6 = 25 + 6 = 31 (р.) − стоит более дорогой журнал.
Ответ: 25 р. и 31 р.

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.