Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 \end
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №887
Условие
Найдите корень уравнения 5^<\log_<25>(10x-8)>=8.
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
Ответ
Задание №885
Условие
Найдите корень уравнения \log_3(28+4x)=\log_3(18-x).
Решение
\log_3 20=\log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
Задание №288
Условие
Найдите корень уравнения \log_
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7\neq1, тогда x>7 и x\neq8.
Так как 2=\log_
Задание №7 ЕГЭ по математике базового уровня
Простейшие уравнения
В задании №7 базового уровня ЕГЭ по математике необходимо решить
Простейшие (Protozoa) — тип одноклеточных животных.
Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 7МБ1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Алгоритм выполнения
- Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
- Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
- Преобразовать левую часть.
- Преобразовать правую часть.
- Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x + 3) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x – 9) 2 = x 2 – 2 · x · 9 + 9 2 = x 2 – 18x + 81
После преобразования выражение примет
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
x 2 + 6x + 9 = x 2 – 18x + 81
Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую. При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.
x 2 + 6x – x 2 + 18x = 81 – 9
Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x 2 и x.
x 2 + 6x – x 2 + 18x = (x 2 – x 2 ) + (6x +18x) = 0 + 24x = 24x
Выражение примет вид:
Преобразуем правую часть. 81 – 9 = 72
Выражение примет вид:
Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение в общем виде:
Вариант 7МБ2
Алгоритм выполнения
- Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
- Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
- Преобразовать левую часть.
- Преобразовать правую часть.
- Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x + 2) 2 = x 2 + 2 · x · 2 + 2 2 = x 2 + 4x + 4
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x – 8) 2 = x 2 – 2 · x · 8 + 8 2 = x 2 – 16x + 64
После преобразования выражение примет вид:
x 2 + 4x + 4 = x 2 – 16x + 64
Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую. При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.
x 2 + 4x – x 2 + 16x = 64 – 4
Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x 2 и x.
x 2 + 4x – x 2 + 16x = (x 2 – x 2 ) + (4x +16x) = 0 + 20x = 20x
Выражение примет вид:
Преобразуем правую часть. 64 – 4 = 60
Выражение примет вид:
Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение в общем виде:
Вариант 7МБ3
Алгоритм выполнения
- Перенести вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.
- Преобразовать правую часть с учетом свойства: logax + logay = loga (x · y).
- Приравнять логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.
- Решить уравнение относительно x.
Решение:
Вариант 7МБ4
Найдите корень уравнения 3 x− 3 = 81.
Алгоритм выполнения
- Привести выражения в степенях к одинаковому основанию. В данном случае – это 3. Теперь необходимо вспомнить, какой степенью тройки является 81.
- Когда основания равны, можно приравнять значения степеней
Если вы забыли, то для этого необходимо делить 81 на 3 до тех пор, пока не получим 3. Чтобы получить три из 81, нам нужно поделить 81 на 3 три раза: при первом делении мы получим 27, при втором – 9, при третьем – три.
Значит, 81 это три в четвертой степени. Запишем это:
Решение:
Ответ: 7
Вариант 7МБ5
Найдите корень уравнения log2( x − 3) = 6 .
Алгоритм выполнения
- Логарифм по основанию два показывает нам число, в степень которого нам необходимо возвести основание, то есть двойку, чтобы получить число под логарифмом.
Решение:
Вариант 7МБ6
Найдите отрицательный корень уравнения x 2 − x − 6 = 0.
Алгоритм выполнения
- Вычислить дискриминант
- Найти корни
- Выбрать необходимый корень
Решение:
D = -(1) 2 − 4 • 1 • (-6) = 25
Так как нам необходим отрицательный корень – ответ -2
Вариант 7МБ7
Решите уравнение х 2 = –2х + 24.
Если уравнение имеет больше одного
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Алгоритм выполнения
- Переносим влево часть ур-ния, стоящую справа от знака «=». Получаем кв.уравнение стандартного вида.
- Поскольку уравнение является приведенным, используем для нахождения корней т.Виета.
- Записываем в качестве ответа большее из полученных 2 чисел.
Решение:
Поскольку требуется указать больший из корней, то ответом будет 4.
Вариант 7МБ8
Найдите корни уравнения 4 х–6 = 64.
Алгоритм выполнения
- Представляем 64 как степень с основанием 4, т.е. приводим выражения справа и слева к степеням с одинаковым основанием.
- Опускаем одинаковые основания и переходим к равенству показателей. Ур-ние стало простейшим линейным.
- Находим корень ур-ния.
Решение:
Вариант 7МБ9
Найдите корень уравнения log3 (2x – 5) = 2.
Алгоритм выполнения
- Преобразуем часть уравнения справа от знака «=», используя св-ва логарифмов logxx=1 и logxy n =nlogxy.
- Переходим от равенства логарифмов к равенству выражений, стоящих под их знаками.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ10
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Преобразовываем обе части ур-ния: приводим их к степеням с основанием 3. Для этого используем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Поскольку основания степеней слева и справа в ур-нии теперь одинаковы, то можем их опустить и приравнять показатели.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ11
Найдите корень уравнения (х – 8) 2 = (х – 2) 2 .
Алгоритм выполнения
- Раскрываем скобки слева и справа, используя ф-
Луб — это сложная проводящая ткань, по которой продукты фотосинтеза (органические вещества) транспортируются из листьев ко всем органам растения (к корневищам, плодам, семенам и т. д.).
Решение:
х 2 – 2 · х ·8 + 8 2 = х 2 – 2 · х · 2 + 2 2
Вариант 7МБ12
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Преобразовываем обе части ур-ния так, чтобы привести их к степеням с одинаковым основанием 7. Для выражения слева применяем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Применяем св-во показат.уравнений: если степени с одинаковыми основаниями равны, то равны и их показатели. Отсюда переходим к линейному ур-нию.
- Решаем его.
Решение:
Вариант 7МБ13
Решите уравнение х 2 – 25 = 0
Алгоритм выполнения
- Переносим 25 в правую часть ур-ния.
- Выражаем из ур-ния х путем извлечения корня из 25.
- Определяем корни, сравниваем их, определяем больший.
Решение:
Для ответа берем 5.
Вариант 7МБ14
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Применим св-во логарифмических равенств: если логарифмы с одинаковыми основания равны, то равны и их подлогарифменные выражения. В результате получаем равенство из выражений, стоящих под знаком логарифма.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ15
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Приводим обе части ур-ния к степеням с основанием 2. При этом для преобразования выражения слева используем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Получив слева и справа степени с одинаковым основанием, опускаем это основание и приравниваем показатели этих степеней. Получаем линейное ур-ние.
- Решаем его.
Решение:
Вариант 7МБ16
Найдите корень уравнения
http://academyege.ru/theme/logarifmicheskie-uravneniya.html
http://spadilo.ru/zadanie-7-ege-po-matematike-bazovyj/